Determine os intervalos nos quais se tem certeza da existência de soluções.
y^prime prime prime+x y^prime prime+x^2 y^prime+x^3 y=ln (x)

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear de terceira ordem
y''' + x,y'' + x^2,y' + x^3,y = ln(x),
o conteúdo é Teorema de existência e unicidade para EDOs lineares e vamos precisar que os coeficientes e o termo forçante sejam contínuos num intervalo para garantir solução única.

Passo 2

O Teorema de existência e unicidade para EDOs lineares diz que, se numa EDO escrita como
y^(n) + pn-1(x)y^(n-1) + cdots + p0(x)y = g(x)
todos os coeficientes pi(x) e g(x) forem contínuos num intervalo I, então para qualquer condição inicial em x0in I existe uma única solução em todo o intervalo I.

Passo 3

Aqui temos p2(x)=x, p1(x)=x^2, p0(x)=x^3 que são contínuos em R, mas o termo forçante g(x)=ln(x) só é contínuo para x>0. Não há outros pontos singulares.

Passo 4

Logo, podemos garantir existência e unicidade de solução em qualquer intervalo que não inclua x=0 e esteja contido em (0,infty).
Concluímos que, para qualquer ponto inicial x0>0 e quaisquer condições iniciais, existe uma solução única em qualquer intervalo contido em (0,infty).

Resposta

As soluções existem com unicidade em todo intervalo contido em (0, ∞).

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