Determine a inversa:
p(x)=(x-1)^3+2

Passo 1

O enunciado pede para achar a função inversa de
p(x) = (x-1)^3 + 2
Estamos em funções reais, e como t mapsto (t-1)^3+2 é estritamente crescente (é um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo), ela é bijetora e portanto tem inversa. Para encontrá-la, vamos usar o processo de troca de variáveis e isolar x.

Passo 2

Seja
y = p(x) = (x-1)^3 + 2
Aqui trocamos o valor de saída por y para, em seguida, resolver para x.

Passo 3

Isolamos o termo cúbico, subtraindo 2 de ambos os lados:
y - 2 = (x-1)^3

Passo 4

Aplicamos a raiz cúbica em ambos os lados para eliminar o cubo:
raiz[3],y - 2, = x - 1

Passo 5

Por fim, somamos 1 para obter x em função de y:
x = 1 + raiz[3],y - 2,
Isso nos dá a inversa, que normalmente escrevemos trocando y por x.

Resposta

p^-1(x) = 1 + raiz[3],x - 2,

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