Determine o maior valor a em A=x in R ; x <= a de modo que a fun, c^sim ao f: A R definida por f(x)= x^2-4 x+6 seja injetora.

Passo 1

O enunciado pede para achar o maior valor de a tal que a função
fcolon A to R, A=xinRmid x<= a, f(x)=x^2-4x+6
seja injetora. O conteúdo aqui é determinar quando um polinômio quadrático é injetor por meio de monotonicidade (derivada).

Passo 2

Calculemos a derivada de f para analisar monotonicidade:
f'(x)=ddxl(x^2-4x+6r)=2x-4
Essa derivada vale zero em x=2, é negativa para x<2 e positiva para x>2. Logo f é estritamente decrescente em (-infty,2] e estritamente crescente em [2,infty).

Passo 3

Para que f seja injetora em A=(-infty,a], precisamos que f seja monotônica em todo esse intervalo. Como f só é estritamente decrescente até x=2, o intervalo (-infty,a] só permanece num trecho monotônico se a<=2. Se a>2, o domínio incluiria parte onde f volta a crescer, quebrando a injeção.

Passo 4

Portanto o maior valor de a que garante injeção em x<= a é
a=2

Resposta

2

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