Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
sumn=1^infty (ln n)^2n^3;

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série\r
sumn=1^infty(ln n)^2n^3\r
usando o Teste de Comparação por Limites. O conteúdo necessário é saber que uma série p-série\r
sum1/n^p converge se p>1. A ideia é comparar o termo\r
an=(ln n)^2n^3 com uma p-série adequada.

Passo 2

Escolhemos como série de comparação a p-série\r
sumn=1^inftybn com \r
bn=1n^2. \r
Sabemos que sum bn converge, pois é uma p-série com p=2>1.

Passo 3

Agora calculamos o limite\r
L=limntoinftyanbn =limntoinftytfrac(ln n)^2n^3tfrac1n^2 =limntoinfty(ln n)^2n \r
Para avaliar limntoinfty(ln n)^2/n, note que n cresce muito mais rápido que ln n, logo\r
limntoinfty(ln n)^2n=0

Passo 4

O Teste de Comparação por Limites diz que, se sum bn converge e \r
limntoinftyan/bn=L é finito (mesmo que seja zero), então sum an também converge. Aqui L=0<infty e sum bn converge, logo\r
sum an=sum(ln n)^2n^3 converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(ln n)^2n^3 converge.

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