Determine a inversa de cada uma das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para achar a função inversa de
Aqui o conteúdo é “função inversa”: para existir inversa precisamos que
seja bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. Note que
não é injetora em todo
, então teremos que restringir o domínio para torná-la injetora.
Passo 2
Para encontrar a inversa, começamos escrevendo
e então resolvemos para
:
Isso mostra que, sem restrição, cada
vem de dois valores de
(um positivo e um negativo).
Passo 3
Para ter uma única inversa, restringimos o domínio de
. Duas escolhas naturais são:
-
Domínio
. Nesse caso é estritamente crescente de a , e então -
Domínio
. Nesse caso é estritamente decrescente de a , e então
Passo 4
Finalmente, trocamos o nome da variável
por
para escrever as inversas como funções de
. Assim obtemos:
-
Se
, -
Se
,
Resposta
Se restringirmos o domínio a
, então
Se restringirmos o domínio a
, então