Determine a inversa de cada uma das funções a seguir:
f(x)=1+x^2

Passo 1

O enunciado pede para achar a função inversa de
f(x)=1+x^2
Aqui o conteúdo é “função inversa”: para existir inversa precisamos que f seja bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. Note que x^2 não é injetora em todo R, então teremos que restringir o domínio para torná-la injetora.

Passo 2

Para encontrar a inversa, começamos escrevendo
y ;=; 1 + x^2,
e então resolvemos para x:
x^2 = y - 1 Longrightarrow x = pmraizy - 1
Isso mostra que, sem restrição, cada y>=1 vem de dois valores de x (um positivo e um negativo).

Passo 3

Para ter uma única inversa, restringimos o domínio de f. Duas escolhas naturais são:
  1. Domínio [0,infty). Nesse caso f é estritamente crescente de 1 a infty, e então
    f^-1(y)=raizy-1, y>=1
  2. Domínio (-infty,0]. Nesse caso f é estritamente decrescente de infty a 1, e então
    f^-1(y)=-raizy-1, y>=1

Passo 4

Finalmente, trocamos o nome da variável y por x para escrever as inversas como funções de x. Assim obtemos:
  • Se fcolon[0,infty)to[1,infty),
    f^-1(x)=raizx-1, x>=1
  • Se fcolon(-infty,0]to[1,infty),
    f^-1(x)=-raizx-1, x>=1

Resposta

Se restringirmos o domínio a [0,infty), então
f^-1(x)=raizx-1, x>=1
Se restringirmos o domínio a (-infty,0], então
f^-1(x)=-raizx-1, x>=1

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