Exercício 12. Em um mesmo plano cartesiano, construa os gráficos da funções f(x)=2 x-3 e de sua inversa f^-1(x).
(a) Qual é a raiz da função f ? E da função f^-1 ?
(b) Quais as coordenadas do ponto em que os gráficos das funções f e f^-1 se cruzam?

Passo 1

O enunciado pede para construir no mesmo plano cartesiano os gráficos da função f(x)=2x-3 e de sua inversa f^-1(x), e em seguida responder:
(a) Qual é a raiz de cada função?
(b) Quais as coordenadas do ponto em que esses dois gráficos se cruzam?

Passo 2

Para obter a inversa de f, escrevemos
y = 2x - 3
e resolvemos em função de x:
y+3 = 2x Longrightarrow x = y+32
Trocando x por f^-1(x) e y por x, vem
f^-1(x) = x+32

Passo 3

A raiz de f é o valor de x tal que f(x)=0. Resolve-se
2x - 3 = 0 Longrightarrow 2x = 3 Longrightarrow x = 32

Passo 4

A raiz de f^-1 é o valor de x que faz f^-1(x)=0. Resolve-se
x+32 = 0 Longrightarrow x+3 = 0 Longrightarrow x = -3

Passo 5

Os gráficos de f e f^-1 se cruzam quando
2x - 3 = x+32
Multiplicando por 2 e rearranjando,
4x - 6 = x + 3 Longrightarrow 3x = 9 Longrightarrow x = 3
Substituindo em f(x), obtemos y = 2cdot3 - 3 = 3. Portanto, o ponto de interseção é (3,3).

Resposta

(a) A raiz de f é x=tfrac32 e a raiz de f^-1 é x=-3.
(b) Os gráficos se cruzam em (3,3).

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