Determine a inversa de cada uma das matrizes seguintes:

Passo 1

O enunciado pede a inversa de seis matrizes, sendo três de ordem 3 e três de ordem 4. Para as matrizes 3times3 usaremos o método da adjunta (determinante e cofatores). Para a primeira matriz 4times4, que é triangular superior com todos os 1s na diagonal e acima, aplicaremos a propriedade de inversão de matrizes triangulares. Nas outras duas matrizes 4times4 faremos eliminação de Gauss–Jordan na forma aumentada [Amid I].

Passo 2

Inversão das matrizes 3times3 pelo método dos cofatores:
  1. Para
A1= 1 & 3 & -2 2 & 8 & -3 1 & 7 & 1 ,
calculou-se det(A1)=2 e a matriz dos cofatores transposta (adjunta), chegando a
A1^-1=12 29 & -17 & 7 -5 & 3 & -1 6 & -4 & 2
  1. Para
A2= 2 & 1 & -1 5 & 2 & -3 0 & 2 & 1 ,
obteve-se det(A2)=1 e
A2^-1= 8 & -3 & -1 -5 & 2 & 1 10 & -4 & -1
  1. Para
A3= 1 & -2 & 0 2 & -3 & 1 1 & 1 & 5 ,
teve-se det(A3)=2 e
A3^-1=12 -16 & 10 & -2 -9 & 5 & -1 5 & -3 & 1

Passo 3

Inversão da matriz triangular superior
U= 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1
Como U é triangular com diagonais todas 1, sua inversa X satisfaz U,X=I. Resolve-se coluna a coluna por substituição regressiva, encontrando
U^-1= 1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1

Passo 4

Inversão por Gauss–Jordan de
B= 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 1 & 3 & 1 & -2 1 & 4 & -2 & 4
Montando [Bmid I] e aplicando as eliminações de colunas 1, 2, 3 e 4 (eliminação de entradas abaixo do pivô e depois acima), obteve-se a forma [Imid B^-1] com
B^-1= -10 & -20 & 4 & 7 3 & 6 & -1 & -2 5 & 8 & -2 & -3 2 & 3 & -1 & -1

Passo 5

Inversão por Gauss–Jordan de
C= 1 & 2 & 3 & 2 2 & 3 & 5 & 1 3 & 5 & 7 & 1 1 & 1 & 5 & 4
De modo análogo, transformando [Cmid I] em [Imid C^-1], chega-se a
C^-1= 8 & 25 & -17 & -6 -1 & -6 & 4 & 1 -3 & -7 & 5 & 2 2 & 4 & -3 & -1

Resposta

A inversa de cada matriz é:
(a) 1 & 3 & -2 2 & 8 & -3 1 & 7 & 1 ^-1 =tfrac12 29 & -17 & 7 -5 & 3 & -1 6 & -4 & 2
(b) 2 & 1 & -1 5 & 2 & -3 0 & 2 & 1 ^-1 = 8 & -3 & -1 -5 & 2 & 1 10 & -4 & -1
(c) 1 & -2 & 0 2 & -3 & 1 1 & 1 & 5 ^-1 =tfrac12 -16 & 10 & -2 -9 & 5 & -1 5 & -3 & 1
(d) 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 ^-1 = 1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1
(e) 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 1 & 3 & 1 & -2 1 & 4 & -2 & 4 ^-1 = -10 & -20 & 4 & 7 3 & 6 & -1 & -2 5 & 8 & -2 & -3 2 & 3 & -1 & -1
(f) 1 & 2 & 3 & 2 2 & 3 & 5 & 1 3 & 5 & 7 & 1 1 & 1 & 5 & 4 ^-1 = 8 & 25 & -17 & -6 -1 & -6 & 4 & 1 -3 & -7 & 5 & 2 2 & 4 & -3 & -1

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