Sejam
um espaço vetorial de dimensão
e
um operador linear com polinômio característico
. Assinale a alternativa que NÃO contém uma condição equivalente a
ser diagonalizável.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão
e que o operador linear
tem polinômio característico
Isso significa que os autovalores de
são
com multiplicidades algébricas, respectivamente,
.
Para que seja diagonalizável, cada multiplicidade geométrica (i.e.\ ) deve igualar a respectiva multiplicidade algébrica. Logo, em caso de diagonalização temos
,
e
.
Para que
,
e
.
Passo 2
Verificamos a alternativa (A):
e .
Portanto
e .
Portanto
logo (A) é satisfeita sempre que
for diagonalizável.
Passo 3
Verificamos a alternativa (B):
Diz que
Diz que
Mas para um operador diagonalizável o somatório direto dos autovetores associados aos três autovalores gera
. Logo (B) é equivalente à diagonalização.
Passo 4
Verificamos a alternativa (D):
Essa igualdade é justamente a condição de soma das dimensões dos autoespaços igual a
, ou seja, equivalência à diagonalização.
Passo 5
Verificamos a alternativa (E):
o que coincide com a soma das dimensões geométricas desses dois autovalores no caso diagonalizável. Logo (E) também é satisfeita.
Passo 6
Verificamos a alternativa (C):
Em geral vale
Em geral vale
Logo, em nosso caso,
Para que isso fosse igual a
seria necessário
, impossível para
.
Portanto (C) não é equivalente à condição de ser diagonalizável.
Portanto (C) não é equivalente à condição de
Resposta
(C)