Sejam V um espaço vetorial de dimensão n>4 e T: V V um operador linear com polinômio característico p(t)=(1-t)(2-t)^3(3-t)^n-4. Assinale a alternativa que NÃO contém uma condição equivalente a T ser diagonalizável.
(A) dim(Im(T-3 I))-dim(Ker(T-2 I))=1
(B) V=Ker(T-I)+Ker(T-2 I)+Ker(T-3 I)
(C) dim(Im(T-I))+dim(Im(T-2 I))+dim(Im(T-3 I))=n
(D) dim(Ker(T-I))+dim(Ker(T-2 I))+dim(Ker(T-3 I))=n
(E) dim(Ker(T-2 I))+dim(Ker(T-3 I))=n-1

Passo 1

O enunciado diz que é um espaço vetorial de dimensão e que o operador linear tem polinômio característico
Isso significa que os autovalores de são com multiplicidades algébricas, respectivamente, .
Para que seja diagonalizável, cada multiplicidade geométrica (i.e.\ ) deve igualar a respectiva multiplicidade algébrica. Logo, em caso de diagonalização temos
,
e
.

Passo 2

Verificamos a alternativa (A):
e .
Portanto
logo (A) é satisfeita sempre que for diagonalizável.

Passo 3

Verificamos a alternativa (B):
Diz que
Mas para um operador diagonalizável o somatório direto dos autovetores associados aos três autovalores gera . Logo (B) é equivalente à diagonalização.

Passo 4

Verificamos a alternativa (D):
Essa igualdade é justamente a condição de soma das dimensões dos autoespaços igual a , ou seja, equivalência à diagonalização.

Passo 5

Verificamos a alternativa (E):
o que coincide com a soma das dimensões geométricas desses dois autovalores no caso diagonalizável. Logo (E) também é satisfeita.

Passo 6

Verificamos a alternativa (C):
Em geral vale
Logo, em nosso caso,
Para que isso fosse igual a seria necessário , impossível para .
Portanto (C) não é equivalente à condição de ser diagonalizável.

Resposta

(C)

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