Sejam
um espaço vetorial de dimensão finita e
um operador linear. Suponha que
e
sejam autovalores distintos de
. Considere as seguintes afirmações:
I. Se
, então
é diagonalizável.
II. Se
, então
é diagonalizável.
III.
é diagonalizável se, e somente se,
.
Está correto o que se afirma em
(A) I e II, apenas.
(B) II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) I, II e III.
(E) II e III, apenas.
I. Se
II. Se
III.
Está correto o que se afirma em
(A) I e II, apenas.
(B) II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) I, II e III.
(E) II e III, apenas.
Passo 1
O enunciado afirma que
é um espaço vetorial de dimensão finita, digamos
, e que
tem dois autovalores distintos
e
. Para decidir se
é diagonalizável vamos usar o critério clássico:
“ é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões de todos os espaços próprios de
for igual a
.”
Além disso, sabemos que espaços próprios de autovalores distintos intersectam só em , o que garante soma direta.
“
Além disso, sabemos que espaços próprios de autovalores distintos intersectam só em
Passo 2
Verificando a afirmação I:
Se
Se
então
. Como a soma das multiplicidades algébricas de todos os autovalores de
é
, e
já “usou”
delas, sobra exatamente multiplicidade algébrica
para o próximo autovalor
. Assim
e
, e em particular
. Logo a soma das dimensões dos espaços próprios é
e portanto
é diagonalizável. Assim I é verdadeira.
Passo 3
Verificando a afirmação II:
Se
Se
então como
(autovalores distintos), temos
Isso fornece uma base de
formada por autovetores de
e de
, garantindo que
é diagonalizável. Logo II é verdadeira.
Passo 4
Verificando a afirmação III:
Dizer que “ é diagonalizável se, e somente se,
” é manifestamente falso, pois existem operadores diagonalizáveis em espaços de qualquer dimensão (por exemplo, a transformação identidade ou qualquer matriz diagonal em dimensão
,
, etc.). Portanto III é falsa.
Dizer que “
Resposta
(A) I e II, apenas.