Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e T: V V um operador linear. Suponha que lambda e mu sejam autovalores distintos de T. Considere as seguintes afirmações:
I. Se dim(V)-dim(V(lambda))=1, então T é diagonalizável.
II. Se dim(V)=dim(V(lambda))+dim(V(mu)), então T é diagonalizável.
III. T é diagonalizável se, e somente se, dim(V)=2.
Está correto o que se afirma em
(A) I e II, apenas.
(B) II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) I, II e III.
(E) II e III, apenas.

Passo 1

O enunciado afirma que V é um espaço vetorial de dimensão finita, digamos dim(V)=n, e que Tcolon Vto V tem dois autovalores distintos lambda e mu. Para decidir se T é diagonalizável vamos usar o critério clássico:
T é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões de todos os espaços próprios de T for igual a dim(V).”
Além disso, sabemos que espaços próprios de autovalores distintos intersectam só em 0, o que garante soma direta.

Passo 2

Verificando a afirmação I:
Se
dim(V)-diml(V(lambda)r)=1,
então diml(V(lambda)r)=n-1. Como a soma das multiplicidades algébricas de todos os autovalores de T é n, e lambda já “usou” n-1 delas, sobra exatamente multiplicidade algébrica 1 para o próximo autovalor mu. Assim ma(lambda)=n-1 e ma(mu)=1, e em particular diml(V(mu)r)>=1. Logo a soma das dimensões dos espaços próprios é
diml(V(lambda)r)+diml(V(mu)r) =(n-1)+1 =n
e portanto T é diagonalizável. Assim I é verdadeira.

Passo 3

Verificando a afirmação II:
Se
dim(V) =diml(V(lambda)r) +diml(V(mu)r),
então como V(lambda)cap V(mu)=0 (autovalores distintos), temos
V=V(lambda)oplus V(mu)
Isso fornece uma base de V formada por autovetores de lambda e de mu, garantindo que T é diagonalizável. Logo II é verdadeira.

Passo 4

Verificando a afirmação III:
Dizer que “ T é diagonalizável se, e somente se, dim(V)=2” é manifestamente falso, pois existem operadores diagonalizáveis em espaços de qualquer dimensão (por exemplo, a transformação identidade ou qualquer matriz diagonal em dimensão 3, 4, etc.). Portanto III é falsa.

Resposta

(A) I e II, apenas.

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