Seja
um espaço vetorial de dimensão finita e seja
um operador linear invertível. Prove que
(i) se
é um valor próprio de
, então
;
(ii)
é um valor próprio de
se, e somente se,
é um valor próprio de
(onde
denota o operador inverso de
);
(iii) se
é um valor próprio de
, então a multiplicidade algébrica de
é igual à multiplicidade algébrica de
.
(i) se
(ii)
(iii) se
Passo 1
O enunciado fala de um espaço vetorial finito-dimensional
e de um operador linear invertível
. Queremos mostrar três fatos sobre valores próprios (autovalores) de
e de
:
- Se
é autovalor de , então . -
é autovalor de se, e somente se, é autovalor de . - A multiplicidade algébrica de
para é a mesma que a de para .
Para isso vamos usar definições de valor próprio, injetividade de operadores lineares e propriedades de determinantes/ polinômio característico.
Passo 2
Prova de (i): suponha que
fosse valor próprio de
. Então existe
tal que
Isto implica que
não é injetora, pois envia
em zero. Mas um operador linear em espaço de dimensão finita é invertível se, e somente se, é injetor (ou sobrejetor). Isso contradiz a hipótese de
invertível. Logo,
.
Passo 3
Prova de (ii): escrevamos a definição de valor próprio. Dizemos
é autovalor de
se existe
com
Como
, aplicando
em ambos os lados obtemos
Assim
é vetor próprio de
com autovalor
. O argumento inverso (partindo de
) mostra que
valor próprio de
implica
valor próprio de
. Portanto
Passo 4
Prova de (iii): basta comparar os polinômios característicos. Seja
e sejam
as raízes (contando multiplicidade algébrica) de
Como
é invertível,
. Agora
Como
e
segue
Portanto as raízes de
são exatamente
com as mesmas multiplicidades algébricas de
. Isso prova (iii).
Resposta
(i)
.
(ii) é valor próprio de
é valor próprio de
.
(iii) A multiplicidade algébrica de para
coincide com a de
para
.
(ii)
(iii) A multiplicidade algébrica de