Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e seja T: V V um operador linear invertível. Prove que
(i) se lambda é um valor próprio de T, então lambda neq 0;
(ii) lambda é um valor próprio de T se, e somente se, 1lambda é um valor próprio de T^-1 (onde T^-1 denota o operador inverso de T );
(iii) se lambda é um valor próprio de T, então a multiplicidade algébrica de lambda é igual à multiplicidade algébrica de 1lambda.

Passo 1

O enunciado fala de um espaço vetorial finito-dimensional V e de um operador linear invertível Tcolon Vto V. Queremos mostrar três fatos sobre valores próprios (autovalores) de T e de T^-1:
  1. Se lambda é autovalor de T, então lambdaneq0.
  2. lambda é autovalor de T se, e somente se, 1/lambda é autovalor de T^-1.
  3. A multiplicidade algébrica de lambda para T é a mesma que a de 1/lambda para T^-1.
    Para isso vamos usar definições de valor próprio, injetividade de operadores lineares e propriedades de determinantes/ polinômio característico.

Passo 2

Prova de (i): suponha que lambda=0 fosse valor próprio de T. Então existe vneq0 tal que
T(v)=0cdot v=0
Isto implica que T não é injetora, pois envia vneq0 em zero. Mas um operador linear em espaço de dimensão finita é invertível se, e somente se, é injetor (ou sobrejetor). Isso contradiz a hipótese de T invertível. Logo, lambdaneq0.

Passo 3

Prova de (ii): escrevamos a definição de valor próprio. Dizemos lambda é autovalor de T se existe vneq0 com
T(v)=lambda,v
Como lambdaneq0, aplicando T^-1 em ambos os lados obtemos
v = T^-1(lambda v) = lambda,T^-1(v) Longrightarrow T^-1(v)=1lambda,v
Assim v é vetor próprio de T^-1 com autovalor 1/lambda. O argumento inverso (partindo de T^-1(v)=mu v) mostra que mu valor próprio de T^-1 implica 1/mu valor próprio de T. Portanto
lambda é autovalor de T iff 1lambda é autovalor de T^-1 éé

Passo 4

Prova de (iii): basta comparar os polinômios característicos. Seja dim V=n e sejam lambda1,dots,lambdan as raízes (contando multiplicidade algébrica) de
phiT(t)=detl(tI - Tr)
Como T é invertível, det T=lambda1cdotslambdanneq0. Agora
phiT^-1(t) =detl(tI - T^-1r) =det(T^-1),det(tT - I) =det(T)^-1detl(-Ir),detl(I - tTr)
Como det(-I)=(-1)^n e
detl(I - tTr) =prodi=1^nl(1 - tlambdair) =prodi=1^nl(-lambdail)l(t - tfrac1lambdair) =(-1)^nl(lambda1cdotslambdanr)prodi=1^nl(t - tfrac1lambdair),
segue
phiT^-1(t) =det(T)^-1,(-1)^n, (-1)^nl(lambda1cdotslambdanr) prodi=1^nl(t - tfrac1lambdair) =prodi=1^nl(t - tfrac1lambdair)
Portanto as raízes de phiT^-1(t) são exatamente 1/lambdai com as mesmas multiplicidades algébricas de lambdai. Isso prova (iii).

Resposta

(i) lambdaneq0.
(ii) lambda é valor próprio de T iff 1/lambda é valor próprio de T^-1.
(iii) A multiplicidade algébrica de lambda para T coincide com a de 1/lambda para T^-1.

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