Sejam A e B matrizes de tamanho n times n invertíveis. Determine todas as matrizes X de tamanho n times n que satisfazem A B^-1 A X A^-1 B+9 A B=0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as matrizes XinR^ntimes n que satisfazem
A,B^-1,A,X,A^-1,B ;+;9,A,B ;=;0,
onde A e B são invertíveis. O conteúdo é a resolução de equação matricial usando multiplicação por inversas para isolar X.

Passo 2

Multiplicamos à esquerda pela inversa de A para eliminar o fator inicial A:
A^-1l(A,B^-1,A,X,A^-1,Br) ;+; A^-1(9,A,B) =0 ;Longrightarrow; B^-1,A,X,A^-1,B ;+;9,B=0

Passo 3

Multiplicamos à direita pela inversa de B para eliminar o fator final B:
l(B^-1,A,X,A^-1,Br)B^-1 ;+; 9,B,B^-1 =0 ;Longrightarrow; B^-1,A,X,A^-1;+;9,I=0 ;Longrightarrow; B^-1,A,X,A^-1=-9,I

Passo 4

Agora isolamos X. Multiplicamos à esquerda por B e à direita por A:
Bl(B^-1,A,X,A^-1r)A = B(-9I)A ;Longrightarrow; A,X=-9,B,A
Finalmente, multiplicamos à esquerda por A^-1:
X=-9,A^-1,B,A

Resposta

X=-9,A^-1,B,A

Exercícios relacionados