Uma matriz quadrada A é chamada simétrica se A^{\mathrm{t}}=A e antissimétrica se A^{\mathrm{t}}=-A.
a) B B^{\mathrm{t}} e B+B^{\mathrm{t}} são simétricas;
b) B-B^{t} é anti-simétrica.
(i) Mostre que se B é uma matriz quadrada então:
(ii) Mostre que toda matriz quadrada poder ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica.

Passo 1

O enunciado dá que B é uma matriz quadrada e pede duas coisas claras:
  • (i) Mostrar as propriedades de simetria/anti-simetria:
    • que B B^{\mathrm{t}} é simétrica;
    • que B+B^{\mathrm{t}} é simétrica;
    • que B-B^{\mathrm{t}} é antissimétrica (ou seja, skew-symmetric).
  • (ii) Mostrar que toda matriz quadrada B pode ser escrita como soma de uma matriz simétrica e de uma matriz antissimétrica.
Informações relevantes dadas: só que B é quadrada (portanto as transposições e produtos abaixo fazem sentido). Vou usar propriedades padrão da transposição ao longo da resolução.

Passo 2

Lembrete básico e útil sobre a operação transposta (essas fórmulas serão usadas diretamente; explico por que elas valem):
  • Para quaisquer matrizes X e Y de dimensões compatíveis e qualquer escalar c vale (X+Y)^{\mathrm{t}} = X^{\mathrm{t}} + Y^{\mathrm{t}},
(cX)^{\mathrm{t}} = c\,X^{\mathrm{t}},
(XY)^{\mathrm{t}} = Y^{\mathrm{t}} X^{\mathrm{t}},
(X^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}} = X.
Explicação curta (por que são verdadeiras): a transposição troca linhas por colunas; somar matrizes e então transpor é a mesma coisa que transpor cada uma e somar; o produto tem sua ordem invertida ao transpor; e transpor duas vezes devolve a matriz original. Essas propriedades são elementares e seguem da definição de elementos de matriz.

Passo 3

Provar que B B^{\mathrm{t}} é simétrica.
  • Definição: uma matriz A é simétrica se A^{\mathrm{t}} = A.
  • Calcule a transposta de B B^{\mathrm{t}} usando (XY)^{\mathrm{t}} = Y^{\mathrm{t}} X^{\mathrm{t}}: (B B^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}} = (B^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}} B^{\mathrm{t}}.
  • Pela propriedade (X^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}} = X temos (B^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}} = B. Então (B B^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}} = B B^{\mathrm{t}}.
  • Conclusão: B B^{\mathrm{t}} é simétrica, pois sua transposta é ela mesma.

Passo 4

Provar que B + B^{\mathrm{t}} é simétrica.
  • Use (X+Y)^{\mathrm{t}} = X^{\mathrm{t}} + Y^{\mathrm{t}}. Então (B + B^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}} = B^{\mathrm{t}} + (B^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}}.
  • Novamente (B^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}} = B, logo (B + B^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}} = B^{\mathrm{t}} + B = B + B^{\mathrm{t}}.
  • Conclusão: B + B^{\mathrm{t}} é simétrica.

Passo 5

Provar que B - B^{\mathrm{t}} é antissimétrica.
  • Definição: A é antissimétrica se A^{\mathrm{t}} = -A.
  • Calcule a transposta: (B - B^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}} = B^{\mathrm{t}} - (B^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}} = B^{\mathrm{t}} - B.
  • Observe que B^{\mathrm{t}} - B = -(B - B^{\mathrm{t}}). Portanto (B - B^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}} = - (B - B^{\mathrm{t}}).
  • Conclusão: B - B^{\mathrm{t}} é antissimétrica.

Passo 6

Construir explicitamente a decomposição desejada (prova de (ii)).
  • Defina duas matrizes a partir de B: S \coloneqq \tfrac{1}{2}\bigl(B + B^{\mathrm{t}}\bigr), \qquad K \coloneqq \tfrac{1}{2}\bigl(B - B^{\mathrm{t}}\bigr).(Aqui uso escalares reais; por isso preciso que 2 seja invertível no corpo dos escalares, o que é verdade para \mathbb{R}.)
  • Verificações:
    • S é simétrica porque S^{\mathrm{t}} = \tfrac{1}{2}\bigl(B + B^{\mathrm{t}}\bigr)^{\mathrm{t}} = \tfrac{1}{2}\bigl(B^{\mathrm{t}} + (B^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}}\bigr) = \tfrac{1}{2}\bigl(B^{\mathrm{t}} + B\bigr) = S.
    • K é antissimétrica porque K^{\mathrm{t}} = \tfrac{1}{2}\bigl(B - B^{\mathrm{t}}\bigr)^{\mathrm{t}} = \tfrac{1}{2}\bigl(B^{\mathrm{t}} - (B^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}}\bigr) = \tfrac{1}{2}\bigl(B^{\mathrm{t}} - B\bigr) = -\tfrac{1}{2}\bigl(B - B^{\mathrm{t}}\bigr) = -K.
    • Soma recupera B: S + K = \tfrac{1}{2}\bigl(B + B^{\mathrm{t}}\bigr) + \tfrac{1}{2}\bigl(B - B^{\mathrm{t}}\bigr) = \tfrac{1}{2}\bigl(2B\bigr) = B.
  • Assim, B = S + K com S simétrica e K antissimétrica — conclusão do item (ii).

Passo 7

Observação sobre unicidade (útil para prova completa).
  • Se existissem S_1 simétrica e K_1 antissimétrica com B = S_1 + K_1, então subtraindo da decomposição construída: 0 = (S - S_1) + (K - K_1).Aqui S-S_1 é simétrica e K-K_1 é antissimétrica, logo a soma de uma simétrica com uma antissimétrica só pode ser a matriz zero se ambas forem zero (transpor a igualdade e comparar sinais dá essa conclusão). Portanto S=S_1 e K=K_1. Ou seja, a decomposição B = \tfrac{1}{2}(B+B^{\mathrm{t}})+\tfrac{1}{2}(B-B^{\mathrm{t}}) é única.

Passo 8

Exemplo numérico rápido (para “ver na prática” e fixar a ideia).
  • Tome B = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}.
  • Então B^{\mathrm{t}} = \begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix},
S = \tfrac{1}{2}(B+B^{\mathrm{t}}) = \tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}2 & 5 \\[4pt] 5 & 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2{,}5 \\[4pt] 2{,}5 & 4\end{pmatrix},
K = \tfrac{1}{2}(B-B^{\mathrm{t}}) = \tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -\tfrac{1}{2} \\[4pt] \tfrac{1}{2} & 0\end{pmatrix}.
  • Verifica-se que S é simétrica, K é antissimétrica e S+K=B. Exemplo concreto que ajuda a memorizar a fórmula.]

Resposta

(i) B B^{\mathrm{t}} e B+B^{\mathrm{t}} são simétricas; B-B^{\mathrm{t}} é antissimétrica.
(ii) Toda matriz quadrada B pode ser escrita como
B=\tfrac{1}{2}\bigl(B+B^{\mathrm{t}}\bigr)+\tfrac{1}{2}\bigl(B-B^{\mathrm{t}}\bigr),
onde \tfrac{1}{2}(B+B^{\mathrm{t}}) é simétrica e \tfrac{1}{2}(B-B^{\mathrm{t}}) é antissimétrica.

Exercícios relacionados