Uma matriz quadrada
é chamada simétrica se
e antissimétrica se
.
a)
e
são simétricas;
b)
é anti-simétrica.
(i) Mostre que se
é uma matriz quadrada então:
(ii) Mostre que toda matriz quadrada poder ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica.
a)
b)
(i) Mostre que se
(ii) Mostre que toda matriz quadrada poder ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica.
Passo 1
O enunciado dá que
é uma matriz quadrada e pede duas coisas claras:
- (i) Mostrar as propriedades de simetria/anti-simetria:
- que
é simétrica; - que
é simétrica; - que
é antissimétrica (ou seja, skew-symmetric).
- que
- (ii) Mostrar que toda matriz quadrada
pode ser escrita como soma de uma matriz simétrica e de uma matriz antissimétrica.
Informações relevantes dadas: só que
é quadrada (portanto as transposições e produtos abaixo fazem sentido). Vou usar propriedades padrão da transposição ao longo da resolução.
Passo 2
Lembrete básico e útil sobre a operação transposta (essas fórmulas serão usadas diretamente; explico por que elas valem):
- Para quaisquer matrizes
e de dimensões compatíveis e qualquer escalar vale
Explicação curta (por que são verdadeiras): a transposição troca linhas por colunas; somar matrizes e então transpor é a mesma coisa que transpor cada uma e somar; o produto tem sua ordem invertida ao transpor; e transpor duas vezes devolve a matriz original. Essas propriedades são elementares e seguem da definição de elementos de matriz.
Passo 3
Provar que
é simétrica.
- Definição: uma matriz
é simétrica se . - Calcule a transposta de
usando : - Pela propriedade
temos . Então - Conclusão:
é simétrica, pois sua transposta é ela mesma.
Passo 4
Provar que
é simétrica.
- Use
. Então - Novamente
, logo - Conclusão:
é simétrica.
Passo 5
Provar que
é antissimétrica.
- Definição:
é antissimétrica se . - Calcule a transposta:
- Observe que
. Portanto - Conclusão:
é antissimétrica.
Passo 6
Construir explicitamente a decomposição desejada (prova de (ii)).
- Defina duas matrizes a partir de
: (Aqui uso escalares reais; por isso preciso que seja invertível no corpo dos escalares, o que é verdade para .) - Verificações:
-
é simétrica porque -
é antissimétrica porque - Soma recupera
:
-
- Assim,
com simétrica e antissimétrica — conclusão do item (ii).
Passo 7
Observação sobre unicidade (útil para prova completa).
- Se existissem
simétrica e antissimétrica com , então subtraindo da decomposição construída: Aqui é simétrica e é antissimétrica, logo a soma de uma simétrica com uma antissimétrica só pode ser a matriz zero se ambas forem zero (transpor a igualdade e comparar sinais dá essa conclusão). Portanto e . Ou seja, a decomposição é única.
Passo 8
Exemplo numérico rápido (para “ver na prática” e fixar a ideia).
- Tome
- Então
- Verifica-se que
é simétrica, é antissimétrica e . Exemplo concreto que ajuda a memorizar a fórmula.]
Resposta
(i)
e
são simétricas;
é antissimétrica.
(ii) Toda matriz quadrada pode ser escrita como
(ii) Toda matriz quadrada
onde
é simétrica e
é antissimétrica.