Determine a inversa da função f: R (3,+infty) dada por f(x)=4 e^2 x+3.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar a função inversa de f(x)=4e^2x+3, que vai de R para (3,+infty). Trata-se de inverter uma exponencial ajustada, então vamos usar propriedades de exponenciais e o logaritmo natural ( ln), que é a inversa de e^x.

Passo 2

Atribuímos y=f(x):
y = 4e^2x + 3
Para isolar o exponencial, subtraímos 3 dos dois lados e depois dividimos por 4:
y - 3 = 4e^2x
y - 34 = e^2x

Passo 3

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para inverter o exponencial, usando ln(e^u)=u:
lnl(tfracy - 34r) = lnl(e^2xr) = 2x

Passo 4

Isolamos x dividindo por 2:
x = 12lnl(y - 34r)
Essa é a expressão de f^-1(y).

Resposta

A inversa é f^-1(x)=tfrac12lnl(tfracx-34r), com domínio (3,+infty).

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