Determine a inversa das funções:
f: R^2 R^2, f(x, y)=(x+y, 2 x+y)

Passo 1

O enunciado nos dá uma função linear
fcolon R^2 to R^2, f(x,y) = (x+y,;2x+y)
e pede a inversa f^-1. Como se trata de transformação linear, vamos representá-la por uma matriz e encontrar sua inversa.

Passo 2

Escrevendo em coordenadas matriciais, temos

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
det(A) = 1cdot1 - 2cdot1 = -1
Como det(A)neq0, a matriz A é invertível e f é bijetora, logo a inversa existe.

Passo 4

A matriz inversa é dada por
A^-1 = 1det(A),adj(A) = -1 1 & -1-2 & 1 = -1 & 12 & -1

Passo 5

Para temos
Renomeando para , obtemos a fórmula da inversa em coordenadas usuais.

Resposta

f^-1(x,y) = (,y - x,;2x - y,)

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