1. Determine a inversa da matriz
A=(cc cos theta & sen theta -sen theta & cos theta )
Determine e interprete geometricamente os resultados das multiplicações Abinomxy e A^-1 Abinomxy.

Passo 1

O enunciado pede para achar a inversa da matriz
A= costheta & sintheta -sintheta & costheta
e depois interpretar geometricamente as transformações Axy e A^-1Axy. O conteúdo envolve matrizes 2×2, determinante e inversa, e transformações lineares de rotação no plano.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o determinante de A. Para uma matriz 2times2
M=a & b c & d,
o determinante é det(M)=ad-bc. Aqui
a=costheta, b=sintheta, c=-sintheta, d=costheta
Logo
det(A)=costhetacdotcostheta-(sintheta)cdot(-sintheta)=cos^2theta+sin^2theta=1

Passo 3

Como det(A)=1, a inversa existe e vale (pela fórmula da inversa de 2times2):
$$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)} A^-1=1det(A)d & -b -c & a =costheta & -sintheta sintheta & costheta
= .$$

Passo 4

Para interpretar geometricamente, observamos que a forma de A corresponde a uma rotação de ângulo -theta no sentido horário. Assim, Axy gira o vetor (x,y) em torno da origem por -theta.

Passo 5

Por fim, A^-1 é a rotação inversa (ângulo +theta), de modo que
A^-1Axy=Ixy=xy,
isto é, retorna o vetor original.

Resposta

A^{-1}= costheta&-sintheta[4pt]sintheta&costheta. Geometricamente A(x,y) é a rotação de (x,y) por -theta (horário) e A^-1A(x,y)=(x,y) recupera o vetor inicial.

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