- Sabe-se que, em geral, o produto de duas matrizes não comuta. Definindo o comutador entre duas matrizes como
podemos dizer que se duas matrizes comutam temos
, note que aqui temos a matriz nula.
(a) Para a matriz
, determine, caso exista, a matriz mais geral to tipo
que comuta com
.
(a) Para a matriz
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, se existir, a matriz diagonal mais geral
que comuta com
. O conteúdo da matéria é o comutador de matrizes definido por
, e vamos precisar calcular
,
e impor
.
Passo 2
Primeiro calculamos o produto
:
[
AB=
=
=
AB=
=
=
Passo 3
Em seguida, calculamos
:
[
BA=
=
=
BA=
=
=
Passo 4
Agora montamos o comutador:
[
[A,B]=AB-BA= -
=
[A,B]=AB-BA=
=
Passo 5
Para ter
precisamos que cada entrada seja zero. Isso gera as equações
Ambas equivalem a
. Portanto, a matriz
comuta com
se, e somente se,
.
Resposta
A matriz mais geral é
, com
real.