1. Sabe-se que, em geral, o produto de duas matrizes não comuta. Definindo o comutador entre duas matrizes como
[A, B]=A B-B A,
podemos dizer que se duas matrizes comutam temos [A, B]=0, note que aqui temos a matriz nula.
(a) Para a matriz ll0 & 1 1 & 0, determine, caso exista, a matriz mais geral to tipo llx & 0 0 & y que comuta com A.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, se existir, a matriz diagonal mais geral B=x&00&y que comuta com A=0&11&0. O conteúdo da matéria é o comutador de matrizes definido por [A,B]=AB-BA, e vamos precisar calcular AB, BA e impor [A,B]=0.

Passo 2

Primeiro calculamos o produto AB:
[
AB= 0&11&0 x&00&y
= 0cdot x+1cdot0 & 0cdot0+1cdot y1cdot x+0cdot0 & 1cdot0+0cdot y
= 0&yx&0

Passo 3

Em seguida, calculamos BA:
[
BA= x&00&y 0&11&0
= xcdot0+0cdot1 & xcdot1+0cdot00cdot0+ycdot1 & 0cdot1+ycdot0
= 0&xy&0

Passo 4

Agora montamos o comutador:
[
[A,B]=AB-BA= 0&yx&0- 0&xy&0
= 0&y-xx-y&0

Passo 5

Para ter [A,B]=0 precisamos que cada entrada seja zero. Isso gera as equações
y-x=0, x-y=0
Ambas equivalem a x=y. Portanto, a matriz B comuta com A se, e somente se, x=y.

Resposta

A matriz mais geral é B=x&00&x, com x real.

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