1. Use o método de CRAMER e ache a solução do sistema (*):r-x+y+z=1 y+z=3 x+5 y-z=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
(*) -x + y + z = 1, ;y + z = 3, ;x + 5y - z = -1
usando a regra de Cramer. Essa regra diz que, se A é a matriz dos coeficientes e D=det Aneq0, então
x = DxD, y = DyD, z = DzD,
sendo Dx,Dy,Dz os determinantes obtidos ao substituir a coluna correspondente em A pelo vetor dos termos independentes.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = -1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 1 & 5 & -1
e calculamos
D = det A = -1cdotdet!1 & 15 & -1 -1cdotdet!0 & 11 & -1 +1cdotdet!0 & 11 & 5
Agora,
det!1 & 15 & -1=-6, det!0 & 11 & -1=-1, det!0 & 11 & 5=-1,
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D = (-1)(-6) -1(-1) +1(-1) = 6 +1 -1 = 6

Passo 3

Substituímos a primeira coluna de A pelo vetor dos termos independentes l(1,3,-1r) e calculamos
Dx = det 1 & 1 & 1 3 & 1 & 1 -1 & 5 & -1 = 1cdotdet!1 & 15 & -1 -1cdotdet!3 & 1-1 & -1 +1cdotdet!3 & 1-1 & 5
Isso dá
Dx = 1cdot(-6) -1cdot(-2) +1cdot(16) = -6 +2 +16 = 12,
e portanto
x = DxD = 126 = 2

Passo 4

Substituímos a segunda coluna por (1,3,-1) para obter
Dy = det -1 & 1 & 1 0 & 3 & 1 1 & -1 & -1 = -1cdotdet!3 & 1-1 & -1 -1cdotdet!0 & 11 & -1 +1cdotdet!0 & 31 & -1
Calculando,
det!3 & 1-1 & -1=-2, det!0 & 11 & -1=-1, det!0 & 31 & -1=-3,
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Dy = -1cdot(-2) -1cdot(-1) +1cdot(-3) = 2 +1 -3 = 0,
e assim
y = DyD = 0

Passo 5

Finalmente, substituímos a terceira coluna por (1,3,-1):
Dz = det -1 & 1 & 1 0 & 1 & 3 1 & 5 & -1 = -1cdotdet!1 & 35 & -1 -1cdotdet!0 & 31 & -1 +1cdotdet!0 & 11 & 5
Aqui
det!1 & 35 & -1=-16, det!0 & 31 & -1=-3, det!0 & 11 & 5=-1,
portanto
Dz = -1cdot(-16) -1cdot(-3) +1cdot(-1) = 16 +3 -1 = 18,
e
z = DzD = 186 = 3

Resposta

(x,y,z) = (2,,0,,3).

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