1. Determine as soluções do sistema (*) -x+2 y-5 z & =0 x+y-z & =0 e depois de exibir duas de suas soluções X1 e X2 e combiná-las com um particular número real, ainda temos uma solução do mesmo.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema homogêneo
-x+2y-5z=0, x+y-z=0,
que é um sistema linear com 2 equações e 3 incógnitas. O conteúdo aqui é encontrar a solução geral de um sistema homogêneo e observar que o conjunto das soluções forma um subespaço de R^3, logo é fechado sob combinações lineares.

Passo 2

Vamos usar eliminação de Gauss. Da segunda equação temos
x+y-z=0 Longrightarrow x=z-y
Substituindo em -x+2y-5z=0:
-(z-y)+2y-5z=0 ;Longrightarrow; -y+2y-5z-z=0 ;Longrightarrow; 3y-6z=0 ;Longrightarrow; y=2z
Logo
x=z-y=z-2z=-z, y=2z, z=z
Definindo t=z, a solução geral é
(x,y,z)=t,(-1,2,1), tinR

Passo 3

Duas soluções particulares são, por exemplo, para t=1 e t=2:
X1=(-1,2,1), X2=(-2,4,2)

Passo 4

Como o sistema é homogêneo, qualquer combinação linear de soluções é outra solução. Seja alphainR e consideremos
Y=alpha X1+X2 =alpha(-1,2,1)+(-2,4,2) =(-alpha-2,;2alpha+4,;alpha+2)
Verificando em cada equação:
-(-alpha-2)+2(2alpha+4)-5(alpha+2) =(alpha+2)+(4alpha+8)-(5alpha+10)=0,
(-alpha-2)+(2alpha+4)-(alpha+2) =0
Portanto Y também satisfaz o sistema.

Resposta

A solução geral é
(x,y,z)=t,(-1,2,1), tinR
Duas soluções são X1=(-1,2,1) e X2=(-2,4,2), e para qualquer alphainR a combinação alpha X1+X2 também é solução.

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