Determine a inversa das seguintes funções:
a) f(x)=1x
b) f(x)=x+2x+1
c) f(x)=x^4, x>0
d) f(x)=x^2-2 x, x>1
e) f(x)=2+3x+1
f) f(x)=x^2-4 x+3, x>2
g) f(x)=xraizx^2+1
h) f(x)=x+22 x-1

Passo 1

O enunciado pede para determinar a inversa de várias funções. O conteúdo principal é a inversão de função, que requer resolver a equação
y = f(x)
para x em termos de y, trocar x por y e y por x. As restrições de domínio dadas garantem que cada função seja injetora (um-a-um), permitindo a existência da inversa.

Passo 2

Para f(x)=1x: comece por
y = 1x
Multiplicando em cruz,
yx = 1 Longrightarrow x = 1y
Trocando xrightarrow y, a inversa é
f^-1(x) = 1x

Passo 3

Para f(x)=x+2x+1: escreva
y = x+2x+1,
multiplique:
y(x+1) = x+2 ;Longrightarrow; yx + y = x + 2 ;Longrightarrow; yx - x = 2 - y ;Longrightarrow; x(y - 1) = 2 - y ;Longrightarrow; x = 2 - y,y - 1,
Trocando xrightarrow y,
f^-1(x) = 2 - x,x - 1,

Passo 4

Para f(x)=x^4, x>0:
y = x^4 Longrightarrow x = y^1/4
Trocando as variáveis e respeitando a imagem y>0,
f^-1(x) = x^1/4

Passo 5

Para f(x)=x^2-2x, x>1:
y = x^2 - 2x Longrightarrow x^2 - 2x - y = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
x = 2 pm raiz4 + 4y2 = 1 pm raiz1+y
Como x>1, escolhemos o sinal +, logo
x = 1 + raiz1+y
Trocando variáveis, a inversa é
f^-1(x) = 1 + raiz1 + x

Passo 6

Para f(x)=2+3x+1:
y = 2 + 3x+1 ;Longrightarrow; y - 2 = 3x+1 ;Longrightarrow; x+1 = 3y-2 ;Longrightarrow; x = 3y-2 - 1 = 3 - (y-2)y-2 = 5 - y,y - 2,
Trocando xrightarrow y,
f^-1(x) = 5 - x,x - 2,

Passo 7

Para f(x)=x^2-4x+3, x>2:
y = x^2 - 4x + 3 ;Longrightarrow; x^2 - 4x + (3 - y) = 0
Bhaskara dá
x = 4 pm raiz16 -4(3-y)2 = 4 pm raiz4+4y2 = 2 pm raiz1+y
Pela condição x>2, tomamos 2 + raiz1+y. Trocando as variáveis,
f^-1(x) = 2 + raiz1 + x

Passo 8

Para f(x)=xraizx^2+1:
y = xraizx^2+1 ;Longrightarrow; yraizx^2+1 = x
Elevando ao quadrado,
y^2(x^2+1) = x^2 ;Longrightarrow; x^2(1 - y^2) = y^2 ;Longrightarrow; x^2 = y^21 - y^2 ;Longrightarrow; x = pm yraiz1 - y^2
Como o sinal de f(x) coincide com o de x, escolhemos o mesmo sinal de y, obtendo
x = yraiz1 - y^2
Trocando variáveis e lembrando que -1<y<1,
f^-1(x) = xraiz1 - x^2

Passo 9

Para f(x)=x+22x-1:
y = x+22x-1 ;Longrightarrow; y(2x-1) = x+2 ;Longrightarrow; 2yx - y = x + 2 ;Longrightarrow; 2yx - x = y + 2 ;Longrightarrow; x(2y - 1) = y + 2 ;Longrightarrow; x = y + 22y - 1
Trocando xrightarrow y,
f^-1(x) = x + 22x - 1

Resposta

a) f^-1(x)=1x
b) f^-1(x)=2 - x,x - 1,
c) f^-1(x)=x^1/4
d) f^-1(x)=1+raiz1+x
e) f^-1(x)=5 - x,x - 2,
f) f^-1(x)=2+raiz1+x
g) f^-1(x)=xraiz1 - x^2
h) f^-1(x)=x + 22x - 1

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