Determine a inversa das seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\\\ 2 & -3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{bmatrix}1 & 5 \\\\ 2 & -3\end{bmatrix}.
O conteúdo aqui é inversão de matriz 2\times2. Para resolver, precisamos calcular o determinante de A e em seguida aplicar a fórmula da inversa para matrizes 2\times2.

Passo 2

Calcular o determinante de A. Para
A = \begin{bmatrix}a & b \\\ c & d\end{bmatrix},
temos \det(A)=ad - bc. No nosso caso,
a = 1,\quad b = 5,\quad c = 2,\quad d = -3,
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\det(A) = 1\cdot(-3) - 5\cdot2 = -3 - 10 = -13.
Como \det(A)\neq 0, A é invertível.

Passo 3

Usar a fórmula da inversa para matrizes 2\times2:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\\\ -c & a \end{bmatrix}.

Passo 4

Substituir a,b,c,d e \det(A) na fórmula:
A^{-1} = \frac{1}{-13} \begin{bmatrix} -3 & -5 \\\\ -2 & 1 \end{bmatrix}.
Para deixar o escalar positivo no denominador, multiplicamos numerador e denominador por -1:
A^{-1} = \frac{1}{13} \begin{bmatrix} 3 & 5 \\\\ 2 & -1 \end{bmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \frac{1}{13} \begin{bmatrix} 3 & 5 \\\\ 2 & -1 \end{bmatrix}.

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