Determine a inversa das seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ -1 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
A = \begin{bmatrix}2 & 3 \\\\ -1 & 4\end{bmatrix}
O conteúdo aqui é “inversão de matriz 2\times2”. Para isso vamos usar a fórmula conhecida: se
A = \begin{bmatrix}a & b \\\ c & d\end{bmatrix},
então
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{bmatrix},
onde \det(A)=ad - bc.

Passo 2

Calcular o determinante de A. Substituindo a=2, b=3, c=-1, d=4, temos
\det(A) = a\,d - b\,c = 2\cdot4 - 3\cdot(-1) = 8 + 3 = 11.

Passo 3

Construir a matriz dos cofatores transposta (adjunta) para A. Pela fórmula do caso 2\times2, trocamos a com d e invertendo o sinal de b e c:
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4 & -3 \\\\ 1 & 2\end{bmatrix}.

Passo 4

Multiplicar a adjunta pelo inverso do determinante para obter A^{-1}:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\text{adj}(A) = \frac{1}{11}\begin{bmatrix}4 & -3 \\\\ 1 & 2\end{bmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \frac{1}{11}\begin{bmatrix}4 & -3 \\\\ 1 & 2\end{bmatrix}.

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