Determine a inversa da transformação linear definida por , se existir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a inversa da transformação linear definida por , se ela existir. Para isso, precisamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes. Vamos precisar entender como representar a transformação como uma matriz e como calcular sua inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Uma transformação linear de para pode ser escrita na forma , onde é uma matriz 2x2 e é um vetor em .
Passo 3
Vamos identificar a matriz a partir da definição de . A transformação dada é . Isso significa que:
Aqui, o primeiro coluna é o efeito de T em (1, 0) e a segunda coluna é o efeito em (0, 1) .
Passo 4
Para encontrar a inversa de T , precisamos encontrar a inversa da matriz A , ou seja, A^-1 , desde que ela exista. Uma matriz inversível precisa ter um determinante diferente de zero.
Passo 5
Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = (1)(3) - (2)(0) = 3 - 0 = 3
Como o determinante é 3, que é diferente de zero, a matriz A é inversível, e portanto, a transformação T também tem inversa.
Passo 6
Agora, vamos calcular a inversa da matriz A . Para uma matriz 2x2:
A = a & b c & d
A inversa A^-1 é dada por:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Aplicando isso à nossa matriz:
A^-1 = 13 3 & -2 0 & 1
Passo 7
Simplificando a matriz inversa:
A^-1 = 1 & -23 0 & 13
Passo 8
Agora que temos A^-1 , podemos escrever a transformação inversa T^-1 . Se T(x, y) = (x + 2y, 3y) , então:
T^-1(u, v) = A^-1 u v = 1 & -23 0 & 13 u v = ( u - 23v, 13v )
Resposta
A inversa da transformação linear T é T^-1(u, v) = ( u - 23v, 13v ) .