Determine a inversa da transformação linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(x+2 y, 3 y), se existir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a inversa da transformação linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y) = (x + 2y, 3y) , se ela existir. Para isso, precisamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes. Vamos precisar entender como representar a transformação como uma matriz e como calcular sua inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T como uma matriz. Uma transformação linear de R^2 para R^2 pode ser escrita na forma T(v) = Av , onde A é uma matriz 2x2 e v é um vetor em R^2 .

Passo 3

Vamos identificar a matriz A a partir da definição de T . A transformação dada é T(x, y) = (x + 2y, 3y) . Isso significa que:
A = 1 & 2 0 & 3
Aqui, o primeiro coluna é o efeito de T em (1, 0) e a segunda coluna é o efeito em (0, 1) .

Passo 4

Para encontrar a inversa de T , precisamos encontrar a inversa da matriz A , ou seja, A^-1 , desde que ela exista. Uma matriz inversível precisa ter um determinante diferente de zero.

Passo 5

Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = (1)(3) - (2)(0) = 3 - 0 = 3
Como o determinante é 3, que é diferente de zero, a matriz A é inversível, e portanto, a transformação T também tem inversa.

Passo 6

Agora, vamos calcular a inversa da matriz A . Para uma matriz 2x2:
A = a & b c & d
A inversa A^-1 é dada por:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Aplicando isso à nossa matriz:
A^-1 = 13 3 & -2 0 & 1

Passo 7

Simplificando a matriz inversa:
A^-1 = 1 & -23 0 & 13

Passo 8

Agora que temos A^-1 , podemos escrever a transformação inversa T^-1 . Se T(x, y) = (x + 2y, 3y) , então:
T^-1(u, v) = A^-1 u v = 1 & -23 0 & 13 u v = ( u - 23v, 13v )

Resposta

A inversa da transformação linear T é T^-1(u, v) = ( u - 23v, 13v ) .

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