Seja T a reflexão sobre o eixo x e S a rotação de 90^circ no sentido horário em R^2. Determine a matriz da transformação composta T circ S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a matriz da transformação composta T circ S , onde T é a reflexão sobre o eixo x e S é uma rotação de 90^circ no sentido horário no plano R^2 . Para resolver isso, vamos precisar entender como são representadas essas transformações matricialmente e depois multiplicar as matrizes para obter a transformação composta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz da rotação S de 90^circ no sentido horário. A matriz geral para uma rotação de theta graus no sentido horário é:
S = cos theta & sin theta -sin theta & cos theta
Como theta = 90^circ , temos:
cos 90^circ = 0 e sin 90^circ = 1
Substituindo esses valores na matriz, fica:
S = 0 & 1 -1 & 0

Passo 3

Agora, vamos determinar a matriz da reflexão T sobre o eixo x . A reflexão sobre o eixo x simplesmente inverte a coordenada y e mantém a coordenada x inalterada. A matriz dessa transformação é:
T = 1 & 0 0 & -1

Passo 4

Com as matrizes de S e T determinadas, podemos agora calcular a transformação composta T circ S . Isso significa que primeiro aplicamos S e depois T . Matematicamente, isso é feito multiplicando as matrizes na ordem T times S :
T circ S = T times S = 1 & 0 0 & -1 times 0 & 1 -1 & 0

Passo 5

Vamos realizar a multiplicação das matrizes:
T circ S = 1 times 0 + 0 times (-1) & 1 times 1 + 0 times 0 0 times 0 + (-1) times (-1) & 0 times 1 + (-1) times 0 = 0 & 1 1 & 0

Resposta

A matriz da transformação composta T circ S é:
T circ S = 0 & 1 1 & 0

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