Para a transformação T: P2 P2 definida por T(p(x))=p^prime(x)+p(0), encontre bases para ker(T) e Im(T).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T: P2to P2, Tl(p(x)r)=p'(x)+p(0)
Queremos bases de ker(T) e de Im(T). O conteúdo aqui é aplicar definição de transformação linear em P2, calcular núcleo (solução homogênea) e imagem (conjunto de valores possíveis).

Passo 2

Escrevendo o polinômio genérico em P2 como
p(x)=a x^2 + b x + c,
temos
p'(x)=2a x + b, p(0)=c,
logo
Tl(p(x)r)=2a x + (b+c)

Passo 3

Para encontrar ker(T), impomos T(p)=0, isto é
2a x + (b+c)=0como polinômio ô
Isso dá o sistema
2a=0implies a=0, b+c=0implies c=-b
Portanto
p(x)=b,x - b = b,(x-1),
e
ker(T)=b,(x-1)mid bin R =spanx-1

Passo 4

Para a imagem, observamos que
T(p(x))=2a,x+(b+c)
é um polinômio de grau <=1. Como a,b,c variam livremente em R, os coeficientes 2a e b+c podem ser quaisquer reais. Logo
Im(T)=u,x+vmid u,vin R = P1
e uma base conveniente é x,1.

Resposta

ker(T)=spanx-1, Im(T)=spanx,1

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