Encontre a matriz da transformação linear T: R^2 R^2, dada por T(x, y)=(2 x+3 y, x-y), em relação à base (1,1),(1,-1).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A ideia é encontrar a matriz da transformação linear T: R^2 R^2 , que transforma um vetor (x, y) em (2x + 3y, x - y) . Queremos essa matriz em relação à base (1,1), (1,-1) . Para isso, vamos precisar entender como expressar a transformação linear nessa nova base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz da transformação linear em uma base diferente da padrão, precisamos ver como os vetores da base são transformados pela T . Ou seja, vamos aplicar T em cada vetor da base v1, v2 onde v1 = (1,1) e v2 = (1,-1) .

Passo 3

Vamos calcular T(v1) :
T(1, 1) = (2 cdot 1 + 3 cdot 1, 1 - 1) = (2 + 3, 0) = (5, 0)
E depois T(v2) :
T(1, -1) = (2 cdot 1 + 3 cdot (-1), 1 - (-1)) = (2 - 3, 1 + 1) = (-1, 2)

Passo 4

Agora, precisamos expressar os vetores T(v1) = (5, 0) e T(v2) = (-1, 2) em termos da base v1, v2 . Isso significa encontrar escalares a, b tais que:
(5, 0) = a(1,1) + b(1,-1)
(-1, 2) = c(1,1) + d(1,-1)

Passo 5

Vamos resolver para (5, 0) :
5 = a + b (componente x)
0 = a - b (componente y)
Somando as duas equações:
5 = 2a Rightarrow a = 52
Substituindo a na segunda equação:
0 = 52 - b Rightarrow b = 52
Então, (5, 0) = 52(1,1) + 52(1,-1) .

Passo 6

Agora, para (-1, 2) :
-1 = c + d (componente x)
2 = c - d (componente y)
Somando as duas equações:
1 = 2c Rightarrow c = 12
Substituindo c na primeira equação:
-1 = 12 + d Rightarrow d = -32
Então, (-1, 2) = 12(1,1) - 32(1,-1) .

Passo 7

Com esses coeficientes, podemos montar a matriz da transformação T na base v1, v2 . Os coeficientes a, b formam a primeira coluna e c, d a segunda coluna da matriz:
52 & 12 52 & -32

Resposta

A matriz da transformação linear T em relação à base (1,1), (1,-1) é:
52 & 12 52 & -32

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