Encontre a matriz da transformação linear
, dada por
, em relação à base
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A ideia é encontrar a matriz da transformação linear
, que transforma um vetor
em
. Queremos essa matriz em relação à base
. Para isso, vamos precisar entender como expressar a transformação linear nessa nova base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz da transformação linear em uma base diferente da padrão, precisamos ver como os vetores da base são transformados pela
. Ou seja, vamos aplicar
em cada vetor da base
onde
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
E depois
:
Passo 4
Agora, precisamos expressar os vetores
e
em termos da base
. Isso significa encontrar escalares
tais que:
Passo 5
Vamos resolver para
:
Somando as duas equações:
Substituindo
na segunda equação:
Então,
.
Passo 6
Agora, para
:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Então,
.
Passo 7
Com esses coeficientes, podemos montar a matriz da transformação
na base
. Os coeficientes
formam a primeira coluna e
a segunda coluna da matriz:
Resposta
A matriz da transformação linear
em relação à base
é: