Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear dada por
T(x, y, z)=(x-z, y-z, x-y)
Determine a imagem de T e encontre uma base para este subespaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (x - z, y - z, x - y) . Nosso objetivo é descobrir qual é a imagem dessa transformação e encontrar uma base para esse subespaço. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as transformações lineares, a imagem delas e o conceito de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que leva vetores de um espaço para outro de maneira que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, T transforma vetores de R^3 em outros vetores de R^3 .

Passo 3

Agora, para achar a imagem de T , queremos encontrar todos os possíveis vetores que podem ser obtidos aplicando T a qualquer vetor (x, y, z) em R^3 . Ou seja, queremos descrever o conjunto:
Im(T) = , (x - z, y - z, x - y) mid x, y, z in R ,

Passo 4

Vamos expressar isso de forma matricial para facilitar. Podemos escrever T como uma matriz que multiplica o vetor (x, y, z)^T :
T = 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 1 & -1 & 0
A imagem de T será então o espaço coluna dessa matriz.

Passo 5

Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar quais colunas da matriz são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras. Vamos olhar as colunas:
1 0 1 , 0 1 -1 , -1 -1 0
Vamos verificar se alguma coluna é combinação das outras.

Passo 6

Observando, vemos que a terceira coluna (-1, -1, 0)^T pode ser escrita como a soma das duas primeiras colunas:
1 0 1 + 0 1 -1 = 1 + 0 0 + 1 1 + (-1) = 1 1 0
Mas isso não resulta exatamente na terceira coluna. Portanto, as três colunas são linearmente independentes.

Passo 7

Como todas as três colunas são linearmente independentes, a dimensão da imagem de T é 3, o que significa que a imagem é todo o espaço R^3 . Portanto, uma base para a imagem de T é formada pelas três colunas da matriz de T .

Resposta

A imagem de T é todo o espaço R^3 e uma base para esse subespaço é formada pelos vetores
1 0 1 , 0 1 -1 , -1 -1 0

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