Determine a imagem de e encontre uma base para este subespaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é descobrir qual é a imagem dessa transformação e encontrar uma base para esse subespaço. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as transformações lineares, a imagem delas e o conceito de base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que leva vetores de um espaço para outro de maneira que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, transforma vetores de em outros vetores de .
Passo 3
Agora, para achar a imagem de , queremos encontrar todos os possíveis vetores que podem ser obtidos aplicando a qualquer vetor em . Ou seja, queremos descrever o conjunto:
Passo 4
Vamos expressar isso de forma matricial para facilitar. Podemos escrever como uma matriz que multiplica o vetor :
A imagem de T será então o espaço coluna dessa matriz.
Passo 5
Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar quais colunas da matriz são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras. Vamos olhar as colunas:
1 0 1 , 0 1 -1 , -1 -1 0
Vamos verificar se alguma coluna é combinação das outras.
Passo 6
Observando, vemos que a terceira coluna (-1, -1, 0)^T pode ser escrita como a soma das duas primeiras colunas:
1 0 1 + 0 1 -1 = 1 + 0 0 + 1 1 + (-1) = 1 1 0
Mas isso não resulta exatamente na terceira coluna. Portanto, as três colunas são linearmente independentes.
Passo 7
Como todas as três colunas são linearmente independentes, a dimensão da imagem de T é 3, o que significa que a imagem é todo o espaço R^3 . Portanto, uma base para a imagem de T é formada pelas três colunas da matriz de T .
Resposta
A imagem de T é todo o espaço R^3 e uma base para esse subespaço é formada pelos vetores