Determine o inverso multiplicativo de
em
forma
, com
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o inverso multiplicativo de
em
na forma
, com
.
Informações dadas: o número complexo cujo inverso queremos é .
Pergunta explícita: encontrar e
tais que
Informações dadas: o número complexo cujo inverso queremos é
Pergunta explícita: encontrar
Passo 2
Definição do que procuramos: o inverso multiplicativo de um número complexo
é um número
tal que
. Aqui queremos
com
ou seja
Assim reduzimos o problema a calcular explicitamente a fração
.
Passo 3
Estratégia padrão (explicada com calma): para escrever
na forma
usamos o conjugado do denominador para tornar o denominador real.
Definição do conjugado: se com
, então o conjugado é
.
Propriedade útil: (um número real não-negativo). Demonstração rápida:
Definição do conjugado: se
Propriedade útil:
Aqui, para
o conjugado é
e o produto pelo conjugado vai produzir um denominador real.
Passo 4
Aplicando a técnica: multiplicamos numerador e denominador por
:
Agora calculemos o denominador usando a propriedade anterior. Tomando
e
(ou simplesmente usando a fórmula com
):
Note que o sinal de
não altera
, por isso somamos os quadrados.
Passo 5
Com o denominador real, a fração fica simples:
Portanto, na forma
temos
e
.
Passo 6
Verificação (importante para ter confiança na resposta): multiplico
pelo candidato ao inverso e mostro que dá
.
Agora simplifico termo a termo:
Como o produto é
, a expressão encontrada é de fato o inverso multiplicativo.