Determine o inverso multiplicativo de 5-3 i em \mathbb{C} forma a+b i, com a, b \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o inverso multiplicativo de 5-3i em \mathbb{C} na forma a+bi, com a,b\in\mathbb{R}.
Informações dadas: o número complexo cujo inverso queremos é 5-3i.
Pergunta explícita: encontrar a e b tais que
\frac{1}{5-3i}=a+bi.

Passo 2

Definição do que procuramos: o inverso multiplicativo de um número complexo z é um número w tal que z\cdot w=1. Aqui queremos w com
(5-3i)\,w=1
ou seja
w=\frac{1}{5-3i}.
Assim reduzimos o problema a calcular explicitamente a fração \dfrac{1}{5-3i}.

Passo 3

Estratégia padrão (explicada com calma): para escrever \dfrac{1}{5-3i} na forma a+bi usamos o conjugado do denominador para tornar o denominador real.
Definição do conjugado: se z=a+bi com a,b\in\mathbb{R}, então o conjugado é \overline{z}=a-bi.
Propriedade útil: z\overline{z}=a^2+b^2 (um número real não-negativo). Demonstração rápida:
(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2-b^2(-1)=a^2+b^2.
Aqui, para 5-3i o conjugado é 5+3i e o produto pelo conjugado vai produzir um denominador real.

Passo 4

Aplicando a técnica: multiplicamos numerador e denominador por 5+3i:
\frac{1}{5-3i}=\frac{5+3i}{(5-3i)(5+3i)}.
Agora calculemos o denominador usando a propriedade anterior. Tomando a=5 e b= -3 (ou simplesmente usando a fórmula com 3):
(5-3i)(5+3i)=5^2+(3)^2=25+9=34.
Note que o sinal de b não altera b^2, por isso somamos os quadrados.

Passo 5

Com o denominador real, a fração fica simples:
\frac{1}{5-3i}=\frac{5+3i}{34}=\frac{5}{34}+\frac{3}{34}i.
Portanto, na forma a+bi temos a=\dfrac{5}{34} e b=\dfrac{3}{34}.

Passo 6

Verificação (importante para ter confiança na resposta): multiplico (5-3i) pelo candidato ao inverso e mostro que dá 1.
(5-3i)\left(\frac{5}{34}+\frac{3}{34}i\right) =\frac{1}{34}\big(5\cdot 5 + 5\cdot 3i -3i\cdot 5 -3i\cdot 3i\big).
Agora simplifico termo a termo:
=\frac{1}{34}\big(25 +15i -15i -9i^2\big) =\frac{1}{34}\big(25 +0 -9(-1)\big) =\frac{1}{34}\big(25+9\big) =\frac{34}{34}=1.
Como o produto é 1, a expressão encontrada é de fato o inverso multiplicativo.

Resposta

\dfrac{5}{34}+\dfrac{3}{34}i

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