Sejam z_{1}, \cdots, z_{n} números complexos. Mostre que
\overline{z_{1}+\cdots+z_{n}}=\overline{z_{1}}+\cdots+\overline{z_{n}};

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade
\overline{z_{1}+\cdots+z_{n}}=\overline{z_{1}}+\cdots+\overline{z_{n}},
onde z_{1},\ldots,z_{n} são números complexos. As informações dadas são: temos n números complexos quaisquer e queremos mostrar que o conjugado da soma desses n complexos é igual à soma dos conjugados de cada um.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a definição de conjugado complexa: se um número complexo z é escrito na forma cartesiana
z = x + i y,
onde x e y são números reais, então o conjugado de z, denotado por \overline{z}, é
\overline{z} = x - i y.
Aqui \Re(z)=x é a parte real de z e \Im(z)=y é a parte imaginária. Intuitivamente, o conjugado mantém a parte real e troca o sinal da parte imaginária.

Passo 3

Mostramos primeiro o caso de duas parcelas, que é a ideia central. Seja
z_{1}=x_{1}+i y_{1},\qquad z_{2}=x_{2}+i y_{2},
com x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\in\mathbb{R}. Então a soma é
z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2}).
Aplicando o conjugado a essa soma, pela definição,
\overline{z_{1}+z_{2}}=(x_{1}+x_{2})-i(y_{1}+y_{2}).
Agora calcule separadamente os conjugados e some-os:
\overline{z_{1}}=x_{1}-i y_{1},\qquad \overline{z_{2}}=x_{2}-i y_{2},
e portanto
\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}=(x_{1}+x_{2})-i(y_{1}+y_{2}).
Comparando as duas expressões vemos que
\overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}.
Ou seja, a propriedade vale para duas parcelas.

Passo 4

Agora estendemos para n parcelas por indução finita (isso é padrão quando queremos passar de 2 para qualquer n). Procedimento de indução:
  • Caso base: para n=1 a igualdade é óbvia, pois \overline{z_{1}}=\overline{z_{1}}.
  • Passo indutivo: suponha que a propriedade valha para algum n, isto é, suponha
\overline{z_{1}+\cdots+z_{n}}=\overline{z_{1}}+\cdots+\overline{z_{n}}.
Considere n+1 parcelas; escrevemos
\overline{z_{1}+\cdots+z_{n}+z_{n+1}}=\overline{(z_{1}+\cdots+z_{n})+z_{n+1}}.
Pelo resultado do caso de duas parcelas (Passo 3) aplicado às parcelas z_{1}+\cdots+z_{n} e z_{n+1}, temos
\overline{(z_{1}+\cdots+z_{n})+z_{n+1}}=\overline{z_{1}+\cdots+z_{n}}+\overline{z_{n+1}}.
Usando a hipótese de indução para \overline{z_{1}+\cdots+z_{n}} obtemos
\overline{z_{1}+\cdots+z_{n}+z_{n+1}}=(\overline{z_{1}}+\cdots+\overline{z_{n}})+\overline{z_{n+1}}.
Pela associatividade da soma, isto é exactamente
\overline{z_{1}+\cdots+z_{n+1}}=\overline{z_{1}}+\cdots+\overline{z_{n+1}}.
Assim a propriedade vale para n+1. Pelo princípio da indução, vale para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 5

Como checagem alternativa (sem indução), podemos escrever todos os z_{k} na forma z_{k}=x_{k}+i y_{k} e somar diretamente:
\sum_{k=1}^{n} z_{k}=\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k}\right)+i\left(\sum_{k=1}^{n} y_{k}\right).
Aplicando o conjugado,
\overline{\sum_{k=1}^{n} z_{k}}=\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k}\right)-i\left(\sum_{k=1}^{n} y_{k}\right).
Por outro lado,
\sum_{k=1}^{n}\overline{z_{k}}=\sum_{k=1}^{n} (x_{k}-i y_{k})=\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k}\right)-i\left(\sum_{k=1}^{n} y_{k}\right).
As duas expressões coincidem, confirmando a propriedade diretamente.

Resposta

\overline{z_{1}+\cdots+z_{n}}=\overline{z_{1}}+\cdots+\overline{z_{n}}

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