Para que valores de
o operador linear
do
munido do produto interno usual, definido por
, é uma isometria?
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de
tais que o operador linear
em
(com o produto interno usual) seja uma isometria. Vamos usar a caracterização de isometria linear: a matriz de
em relação à base canônica deve ter colunas ortonormais.
Passo 2
Escrevemos a matriz de
na base canônica
. Para
as colunas são:
Passo 3
Como
é isometria, as colunas devem ser um sistema ortonormal, isto é:
.
,
,
.
.
para
.
Passo 4
Verificamos cada condição:
- Já temos
. -
-
já satisfeito. - Ortogonalidade
:
Passo 5
Das condições extraímos o sistema:
Da segunda equação
. Substituindo em
:
Então
dá
Resposta
Os pares
que tornam
uma isometria são