Para que valores de m, n in R o operador linear T do R^3 munido do produto interno usual, definido por T(x, y, z)=(x, m y+raiz22 z, n y+sqrt22 z), é uma isometria?

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de m,ninR tais que o operador linear
T(x,y,z)=l(x,;m,y+tfracraiz22,z,;n,y+tfracraiz22,zr)
em R^3 (com o produto interno usual) seja uma isometria. Vamos usar a caracterização de isometria linear: a matriz de T em relação à base canônica deve ter colunas ortonormais.

Passo 2

Escrevemos a matriz de na base canônica . Para
as colunas são:

Passo 3

Como T é isometria, as colunas devem ser um sistema ortonormal, isto é:
1. |v1|=1, |v2|=1, |v3|=1.
2. vicdot vj=0 para ineq j.

Passo 4

Verificamos cada condição:
  • Já temos |v1|=1.
  • |v2|^2 = 0^2 + m^2 + n^2 = m^2 + n^2 =1
  • |v3|^2 = 0^2 + l(tfracraiz22r)^2 + l(tfracraiz22r)^2 = tfrac12 + tfrac12 =1, já satisfeito.
  • Ortogonalidade v2cdot v3=0: v2cdot v3 = 0cdot0 + mcdottfracraiz22 + ncdottfracraiz22 = tfracraiz22,(m+n)=0 ;Longrightarrow;m+n=0

Passo 5

Das condições extraímos o sistema:
m^2 + n^2 = 1, m + n = 0
Da segunda equação n=-m. Substituindo em m^2+n^2=1:
m^2 + (-m)^2 = 2m^2 = 1 Longrightarrow m^2 = tfrac12 Longrightarrow m = pm tfrac1raiz2
Então n=-m
(m,n) = l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r) ou (m,n) = l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)

Resposta

Os pares (m,n) que tornam T uma isometria são
l(m,nr)=l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r) ou l(m,nr)=l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)

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