Determine m para que:
(j) (m^2-1) x^2+2(m-1) x+1>0, forall x in R

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os valores de m tais que
(m^2-1),x^2+2(m-1),x+1>0
para todo xinR.
O conteúdo envolvido é o estudo do sinal de um polinômio de segundo grau em x: para que ele seja estritamente positivo em toda reta, precisamos ou (i) o coeficiente quadrático ser positivo e o discriminante negativo, ou (ii) o caso degenerado em que deixa de ser de segundo grau mas ainda assim fica positivo constante.

Passo 2

Identificamos os coeficientes do polinômio em x:
a = m^2-1, b = 2(m-1), c = 1

Passo 3

Primeiro consideramos o caso não degenerado, aneq0. Para ter
a,x^2 + b,x + c>0forall x,
é necessário e suficiente que
  1. a>0, isto é,
m^2-1>0implies m>1 ou m<-1,
  1. o discriminante seja negativo, De<a<0. Calculando
De<a = b^2 - 4ac = [2(m-1)]^2 - 4(m^2-1)cdot1 = 4(m-1)^2 -4(m^2-1) = 8(1-m)
Logo
De<a<0 implies 8(1-m)<0 implies m>1
A intersecção com m>1 ou m<-1 dá simplesmente
m>1

Passo 4

Agora o caso degenerado a=0, ou seja m^2-1=0, daí m=pm1.
  • Se m=1, então a inequação vira 1>0, que é sempre verdadeira.
  • Se m=-1, então fica -4x+1>0, que falha para x grande.
Portanto entre os degenerados só m=1 serve.

Resposta

m>=1

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