Nos problemas 17-22, resolva o problema de valor inicial.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
Isso está relacionado a equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear:
Dividindo os dois lados da equação original por
, temos:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos achar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Vamos resolver essa integral separadamente.
Passo 6
Primeiro, integramos
:
Usamos a integração por partes onde:
Assim,
Passo 7
Agora, integramos
:
Passo 8
Juntando as integrações:
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Aplicamos a condição inicial
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: