Nos problemas 17-22, resolva o problema de valor inicial.
t^2 d xd t+3 t x=t^4 ln t+1, x(1)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
t^2 dxdt + 3t x = t^4 ln t + 1, x(1) = 0
Isso está relacionado a equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear:
dxdt + P(t) x = Q(t)
Dividindo os dois lados da equação original por t^2 , temos:
dxdt + 3t x = t^2 ln t + 1t^2
Aqui, identificamos P(t) = 3t e Q(t) = t^2 ln t + 1t^2 .

Passo 3

Agora, vamos achar o fator integrante mu(t) , que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 3t dt = e^3 ln t = t^3

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela mu(t) = t^3 :
t^3 dxdt + 3 t^2 x = t^5 ln t + t1
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto t^3 x :
ddt (t^3 x) = t^5 ln t + t

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t :
t^3 x = integral (t^5 ln t + t) dt
Vamos resolver essa integral separadamente.

Passo 6

Primeiro, integramos t^5 ln t :
integral t^5 ln t , dt
Usamos a integração por partes onde:
u = ln t Rightarrow du = 1t dt
dv = t^5 dt Rightarrow v = t^66
Assim,
integral t^5 ln t , dt = t^66 ln t - integral t^66 cdot 1t dt = t^66 ln t - t^636 + C

Passo 7

Agora, integramos t :
integral t , dt = t^22

Passo 8

Juntando as integrações:
t^3 x = t^66 ln t - t^636 + t^22 + C

Passo 9

Resolvendo para x :
x = t^66 t^3 ln t - t^636 t^3 + t^22 t^3 + Ct^3 = t^36 ln t - t^336 + 12 t + Ct^3

Passo 10

Aplicamos a condição inicial x(1) = 0 :
0 = 1^36 ln 1 - 1^336 + 12 cdot 1 + C1^3 Rightarrow 0 = 0 - 136 + 12 + C
Resolvendo para C :
C = -12 + 136 = -1836 + 136 = -1736

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
x(t) = t^36 ln t - t^336 + 12 t - 1736 t^3

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