Determine o jacobiano da transformação.
x=pi+v+pi, y=pi+v-w, z=pi-v+w

Passo 1

O enunciado define uma transformação de (u,v,w) em (x,y,z) pelos fórmulas
x = u + v + w, y = u + v - w, z = u - v + w
O objetivo é calcular o jacobiano
J = partial(x,y,z)partial(u,v,w),
ou seja, o determinante da matriz das derivadas parciais.

Passo 2

Vamos montar a matriz jacobiana l[partial(x,y,z)/partial(u,v,w)r]. Cada linha corresponde a (x,y,z) e cada coluna a (u,v,w):
partial(x,y,z)partial(u,v,w) = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w = 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1

Passo 3

Agora calculamos o determinante da matriz:
det 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1 = 1cdot(1cdot1 - (-1)cdot(-1)) -1cdot(1cdot1 - (-1)cdot1) +1cdot(1cdot(-1) - 1cdot1)
Dentro dos parênteses temos
1cdot1 - (-1)cdot(-1) = 1 - 1 = 0,
1cdot1 - (-1)cdot1 = 1 - (-1) = 2,
1cdot(-1) - 1cdot1 = -1 - 1 = -2
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det = 1cdot0 ;-;1cdot2 ;+;1cdot(-2) = 0 - 2 - 2 = -4

Resposta

O jacobiano da transformação é -4.

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