Verificar se o campo dado F é irrotacional ou seja rot(F)=0.
F(x, y, z)=(y z e^x y z, x z e^x y z, x y e^x y z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y,z)=l(yz,e^xyz,;xz,e^xyz,;xy,e^xyzr)
é irrotacional, ou seja se
rot(F)=nablatimesF=0
Para isso vamos usar a definição do rotor em coordenadas cartesianas:
nablatimesF=l( partial F3partial y-partial F2partial z;,; partial F1partial z-partial F3partial x;,; partial F2partial x-partial F1partial y r)

Passo 2

Calcular a primeira componente do rotor:
partial F3partial y =partialpartial yl(xy,e^xyzr) =x,e^xyz+xy,e^xyzcdot(xz) =x,e^xyzl(1+xyzr),
partial F2partial z =partialpartial zl(xz,e^xyzr) =x,e^xyz+xz,e^xyzcdot(xy) =x,e^xyzl(1+xyzr)
Como são iguais, a primeira componente do rotor é
partial F3partial y-partial F2partial z=0

Passo 3

Calcular a segunda componente do rotor:
partial F1partial z =partialpartial zl(yz,e^xyzr) =y,e^xyz+yz,e^xyzcdot(xy) =y,e^xyzl(1+xyzr),
partial F3partial x =partialpartial xl(xy,e^xyzr) =y,e^xyz+xy,e^xyzcdot(yz) =y,e^xyzl(1+xyzr)
Logo,
partial F1partial z-partial F3partial x=0

Passo 4

Calcular a terceira componente do rotor:
partial F2partial x =partialpartial xl(xz,e^xyzr) =z,e^xyz+xz,e^xyzcdot(yz) =z,e^xyzl(1+xyzr),
partial F1partial y =partialpartial yl(yz,e^xyzr) =z,e^xyz+yz,e^xyzcdot(xz) =z,e^xyzl(1+xyzr)
Portanto,
partial F2partial x-partial F1partial y=0

Passo 5

Como todas as componentes do rotor são nulas, temos
rot(F)=0,
ou seja, F é irrotacional.

Resposta

O campo F é irrotacional, pois rot(F)=0.

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