Encontre F(s) ou f(t), como indicado.
8. Lt e^-6 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=t e^-6t. Vamos usar a definição
Lf(t) = integral0^infty f(t),e^-s t,dt
e a fórmula conhecida para integrais do tipo integral0^infty t e^-a t dt.

Passo 2

Substituindo f(t)=t e^-6t na definição, obtemos
Lt e^-6t = integral0^infty t e^-6t e^-s t,dt = integral0^infty t e^-(s+6)t,dt

Passo 3

Recordamos a integral padrão
integral0^infty t e^-a t,dt = 1a^2,
válida para Re(a)>0. Aqui identificamos a = s+6.

Passo 4

Aplicando essa fórmula com a=s+6, temos
integral0^infty t e^-(s+6)t,dt = 1(s+6)^2,
com região de convergência Re(s+6)>0, ou seja, Re(s)>-6.

Resposta

Lt e^-6t = 1(s+6)^2, Re(s)>-6

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