Exercs. 61-64: Use o Teorema (2.15) para verificar o limite.
61 \lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{2}+1\right)=1\quad (Sugestão: Use \lim _{x \rightarrow 0}(|x|+1)=1).)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\bigl(x^{2}+1\bigr).
Informações dadas/úteis:
  • Foi sugerido usar \lim_{x\to 0}\bigl(|x|+1\bigr)=1.
  • Queremos verificar o limite usando o Teorema (2.15) (que permite passar limite por composição quando a função externa é contínua).

Passo 2

Primeiro, mostro que \lim_{x\to 0}|x|=0.
Explicação didática (uma prova \varepsilon- \delta direta, passo a passo):
  • Queremos que para todo \varepsilon>0 exista \delta>0 tal que, se |x-0|<\delta, então \bigl||x|-0\bigr|<\varepsilon.
  • Note que \bigl||x|-0\bigr|=|x|. Basta escolher \delta=\varepsilon.
  • Se |x|<\delta=\varepsilon então \bigl||x|-0\bigr|=|x|<\varepsilon.
    Portanto \lim_{x\to 0}|x|=0.
Observação intuitiva: a função valor absoluto mede a distância até zero; quando x tende a 0, essa distância tende a 0.

Passo 3

Usando a propriedade de limites (limite da soma = soma dos limites), obtenho
\lim_{x\to 0}\bigl(|x|+1\bigr)=\lim_{x\to 0}|x|+\lim_{x\to 0}1=0+1=1.
Aqui usei que a função constante 1 tem limite 1 em qualquer ponto.

Passo 4

Agora construo a composição que será conveniente para aplicar o Teorema (2.15).
Defino a função externa
f(t)=(t-1)^{2}+1.
Observações sobre f:
  • É um polinômio em t, logo é contínua em todo ponto real (polinômios são contínuos).
  • Em particular f é contínua no ponto t=1.
  • Avaliando em t=1 temos
f(1)=(1-1)^{2}+1=0+1=1.

Passo 5

Defino a função interna
g(x)=|x|+1.
Do Passo 3 sabemos que
\lim_{x\to 0}g(x)=1.
Agora observo que a composição f(g(x)) é exatamente a função do enunciado:
f(g(x))=\bigl((|x|+1)-1\bigr)^{2}+1=|x|^{2}+1=x^{2}+1.
Ou seja, x^{2}+1=f(g(x)).

Passo 6

Aplicando o Teorema (2.15) (teorema da passagem de limite por composição): se \lim_{x\to a}g(x)=L e f é contínua em L, então
\lim_{x\to a}f(g(x))=f\bigl(\lim_{x\to a}g(x)\bigr)=f(L).
No nosso caso a=0, g tem limite L=1 em 0 e f é contínua em 1. Portanto
\lim_{x\to 0}\bigl(x^{2}+1\bigr)=\lim_{x\to 0}f(g(x))=f(1)=1.

Passo 7

Comentário final curto e motivador: outra maneira rápida de ver isso (sem a composição construída) é notar que x^{2} tende a 0 quando x\to 0 (polinômios contínuos), então x^{2}+1 tende a 0+1=1. A construção com f e g seguiu exatamente a sugestão do enunciado e faz uso explícito do Teorema (2.15).

Resposta

1

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