Exercs. 61-64: Use o Teorema (2.15) para verificar o limite.
61 \lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{2}+1\right)=1\quad (Sugestão: Use \lim _{x \rightarrow 0}(|x|+1)=1).)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\bigl(x^{2}+1\bigr).
Informações dadas/úteis:
Foi sugerido usar \lim_{x\to 0}\bigl(|x|+1\bigr)=1.
Queremos verificar o limite usando o Teorema (2.15) (que permite passar limite por composição quando a função externa é contínua).
Passo 2
Primeiro, mostro que \lim_{x\to 0}|x|=0.
Explicação didática (uma prova \varepsilon-\delta direta, passo a passo):
Queremos que para todo \varepsilon>0 exista \delta>0 tal que, se |x-0|<\delta, então \bigl||x|-0\bigr|<\varepsilon.
Note que \bigl||x|-0\bigr|=|x|. Basta escolher \delta=\varepsilon.
Se |x|<\delta=\varepsilon então \bigl||x|-0\bigr|=|x|<\varepsilon.
Portanto \lim_{x\to 0}|x|=0.
Observação intuitiva: a função valor absoluto mede a distância até zero; quando x tende a 0, essa distância tende a 0.
Passo 3
Usando a propriedade de limites (limite da soma = soma dos limites), obtenho
Comentário final curto e motivador: outra maneira rápida de ver isso (sem a composição construída) é notar que x^{2} tende a 0 quando x\to 0 (polinômios contínuos), então x^{2}+1 tende a 0+1=1. A construção com f e g seguiu exatamente a sugestão do enunciado e faz uso explícito do Teorema (2.15).