Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o jacobiano de uma transformação. A gente tem uma transformação que relaciona as coordenadas e com e através das equações:
O assunto aqui é o jacobiano, que é uma ferramenta importante em cálculo para entender como áreas ou volumes são alterados quando fazemos uma transformação de coordenadas. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de e em relação a e para montar a matriz jacobiana.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e .
Para :
Para :
Passo 3
Agora, montamos a matriz jacobiana usando essas derivadas parciais:
Passo 4
Para encontrar o jacobiano, ou seja, o determinante dessa matriz, usamos a fórmula do determinante para uma matriz 2 times 2 :
det(J) = (a cdot d) - (b cdot c)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(J) = (2 e^2u cos v)(e^2u cos v) - (-e^2u sin v)(2 e^2u sin v)
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
(2 e^2u cos v)(e^2u cos v) = 2 e^4u cos^2 v
(-e^2u sin v)(2 e^2u sin v) = -2 e^4u sin^2 v
Portanto:
det(J) = 2 e^4u cos^2 v - (-2 e^4u sin^2 v) = 2 e^4u (cos^2 v + sin^2 v)