Determine o jacobiano da transformação.
x=e^2 u cos v, y=e^2 u sen v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o jacobiano de uma transformação. A gente tem uma transformação que relaciona as coordenadas u e v com x e y através das equações:
x = e^2u cos v, y = e^2u sin v
O assunto aqui é o jacobiano, que é uma ferramenta importante em cálculo para entender como áreas ou volumes são alterados quando fazemos uma transformação de coordenadas. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u e v para montar a matriz jacobiana.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u e v .
Para x = e^2u cos v :
partial xpartial u = 2 e^2u cos v
partial xpartial v = -e^2u sin v
Para y = e^2u sin v :
partial ypartial u = 2 e^2u sin v
partial ypartial v = e^2u cos v

Passo 3

Agora, montamos a matriz jacobiana usando essas derivadas parciais:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 2 e^2u cos v & -e^2u sin v 2 e^2u sin v & e^2u cos v

Passo 4

Para encontrar o jacobiano, ou seja, o determinante dessa matriz, usamos a fórmula do determinante para uma matriz 2 times 2 :
det(J) = (a cdot d) - (b cdot c)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(J) = (2 e^2u cos v)(e^2u cos v) - (-e^2u sin v)(2 e^2u sin v)

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
(2 e^2u cos v)(e^2u cos v) = 2 e^4u cos^2 v
(-e^2u sin v)(2 e^2u sin v) = -2 e^4u sin^2 v
Portanto:
det(J) = 2 e^4u cos^2 v - (-2 e^4u sin^2 v) = 2 e^4u (cos^2 v + sin^2 v)

Passo 6

Sabemos que cos^2 v + sin^2 v = 1 , então:
det(J) = 2 e^4u cdot 1 = 2 e^4u

Resposta

O jacobiano da transformação é 2 e^4u .

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