Determine o jacobiano da transformação.
x=2 w, y=3 v^2, z=4 w^3

Passo 1

O enunciado pede o jacobiano da transformação de variáveis (u,v,w) em (x,y,z) dada por
x = 2u, y = 3v^2, z = 4w^3
Aqui o conteúdo é cálculo de derivadas parciais para montar a matriz jacobiana e em seguida calcular seu determinante.

Passo 2

Vamos escrever a matriz jacobiana J cujos elementos são
Jij = partial (x,y,z)ipartial (u,v,w)j
Como cada uma das três componentes depende de apenas uma das variáveis, a matriz fica diagonal:
J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w [6pt] partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w [6pt] partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w = 2 & 0 & 0 [3pt] 0 & 6v & 0 [3pt] 0 & 0 & 12w^2 ]

Passo 3

O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal. Logo,
det J = 2 ;times; 6v ;times; 12w^2 = 144,v,w^2

Resposta

boxedJ = detpartial(x,y,z)partial(u,v,w) = 144,v,w^2

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