Determine o jacobiano da transformação.
x=u+v+w, y=u+forall-w, z=u-forall+w

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação de variáveis de (u,v,w) em (x,y,z) definida por
x = u + v + w,
y = u + v - w,
z = u - v + w.
O conteúdo aqui é cálculo de jacobiano, isto é, o determinante da matriz cujas entradas são as derivadas parciais de (x,y,z) em relação a (u,v,w).

Passo 2

Vamos calcular cada derivada parcial para montar a matriz jacobiana. Para x = u+v+w:
partial xpartial u=1, partial xpartial v=1, partial xpartial w=1
Para y = u+v-w:
partial ypartial u=1, partial ypartial v=1, partial ypartial w=-1
Para z = u-v+w:
partial zpartial u=1, partial zpartial v=-1, partial zpartial w=1

Passo 3

A matriz jacobiana J é
J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w = 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1

Passo 4

Para encontrar o jacobiano calculamos o determinante dessa matriz. Usando cofactores pela primeira linha:
det(J) =1cdotdet1 & -1-1 & 1 -1cdotdet1 & -11 & 1 +1cdotdet1 & 11 & -1
Agora cada determinante 2times 2:
det1 & -1-1 & 1=1cdot1-(-1)(-1)=0, det1 & -11 & 1=1cdot1-(-1)cdot1=2, det1 & 11 & -1=1cdot(-1)-1cdot1=-2
Substituindo:
det(J)=1cdot0 - 1cdot2 + 1cdot(-2) = -4

Resposta

O jacobiano da transformação é -4.

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