Determine se a série é convergente ou divergente pelo teste da integral.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge usando o teste da integral. O conteúdo é séries numéricas e o critério da integral. Para aplicar esse teste, definimos a função
para
e verificamos se ela é positiva, contínua e decrescente em algum intervalo
. Em seguida comparamos a série com a integral imprópria
Passo 2
Verificamos as condições para o teste da integral em
:
-
é contínua em pois o denominador só zera em e . - Para
temos e , logo . - A derivada
é negativa para todo
(pois o numerador é sempre positivo), mostrando que
é decrescente em
.
Assim, podemos aplicar o teste da integral a partir de
sem alterar a convergência da série.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Passo 4
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Igualando coeficientes obtém-se
e
. Logo
Passo 5
Integrando termo a termo,
Assim
Como a integral diverge, pelo teste da integral a série também diverge.
Resposta
A série
diverge.