Determine se a série é convergente ou divergente pelo teste da integral.
sumn=1^infty 3 n-4n^2-2 n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty3n-4n^2-2n
converge ou diverge usando o teste da integral. O conteúdo é séries numéricas e o critério da integral. Para aplicar esse teste, definimos a função
f(x)=3x-4x^2-2x
para x>2 e verificamos se ela é positiva, contínua e decrescente em algum intervalo [a,infty). Em seguida comparamos a série com a integral imprópria
integrala^inftyf(x),dx

Passo 2

Verificamos as condições para o teste da integral em x>2:
  1. f(x) é contínua em (2,infty) pois o denominador só zera em x=0 e x=2.
  2. Para x>2 temos 3x-4>0 e x^2-2x>0, logo f(x)>0.
  3. A derivada
f'(x) =3(x^2-2x)-(3x-4)(2x-2)(x^2-2x)^2 =-3x^2-8x+8(x^2-2x)^2
é negativa para todo xneq0,2 (pois o numerador é sempre positivo), mostrando que f é decrescente em (2,infty).
Assim, podemos aplicar o teste da integral a partir de a=3 sem alterar a convergência da série.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
I=integral3^infty3x-4x^2-2x,dx

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais:
3x-4x(x-2) =Ax+Bx-2 Longrightarrow 3x-4 = A(x-2)+B,x
Igualando coeficientes obtém-se A=2 e B=1. Logo
3x-4x(x-2) =2x+1x-2

Passo 5

Integrando termo a termo,
integral3x-4x(x-2),dx =integrall(2x+1x-2r),dx =2ln x + lnlvert x-2rvert + C
Assim
I =limttoinftyl[2ln t + ln(t-2)r] =+infty
Como a integral diverge, pelo teste da integral a série também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty3n-4n^2-2n diverge.

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