Determine se a série é convergente ou divergente pelo teste da integral.
sumn=1^infty 1n^2+n^3

Passo 1

O enunciado apresenta a série
sumn=1^infty1n^2+n^3
e pede para determinar convergência ou divergência usando o teste da integral. Vamos definir a função contínua relacionada, verificar as hipóteses do teste e calcular a integral imprópria correspondente.

Passo 2

Definimos
f(x)=1x^2+x^3 para x>=1
Note que f(x)>0 e, como x^2+x^3 cresce em x, sua recíproca f(x) é decrescente. Para ver isso via derivada,
f'(x)=-2x+3x^2(x^2+x^3)^2<0para x>=1
Assim, f satisfaz as condições do teste da integral.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral à série, estudando
integral1^inftydxx^2+x^3
Para simplificar, escrevemos
1x^2+x^3 =1x^2(1+x)

Passo 4

Fazemos decomposição em frações parciais:
1x^2(1+x) =Ax+Bx^2+C1+x
Multiplicando por x^2(1+x) obtemos
1 = A,x(1+x)+B(1+x)+C,x^2
Comparando coeficientes, resulta
B=1, A+B=0implies A=-1, A+C=0implies C=1
Logo
1x^2(1+x) =-1x+1x^2+11+x

Passo 5

Integramos termo a termo:
integraldxx^2+x^3 =integrall(-1x+1x^2+11+xr)dx =-ln(x)-1x+ln(1+x)+C
Avaliaremos de 1 a R e depois Rtoinfty:
integral1^Rdxx^2+x^3 =l[-ln x -tfrac1x+ln(1+x)r]1^R
Em x=R isso vale -ln R -1/R +ln(1+R), e em x=1 vale -ln1-1+ln2=ln2-1. Logo
integral1^R=ln!l(1+RRr)-1R-ln2+1 =ln!l(1+tfrac1Rr)-1R+1-ln2
Fazendo Rtoinfty, temos ln(1+1/R)to0 e 1/Rto0, de modo que
integral1^inftydxx^2+x^3 =1-ln2<infty

Passo 6

Como a integral imprópria converge e f(x) satisfaz as hipóteses do teste (positiva e decrescente em [1,infty)), a série
sumn=1^infty 1n^2+n^3 também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da integral.

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