Determine se a série é convergente ou divergente pelo teste da integral.
Passo 1
O enunciado apresenta a série
e pede para determinar convergência ou divergência usando o teste da integral. Vamos definir a função contínua relacionada, verificar as hipóteses do teste e calcular a integral imprópria correspondente.
Passo 2
Definimos
Note que
e, como
cresce em
, sua recíproca
é decrescente. Para ver isso via derivada,
Assim,
satisfaz as condições do teste da integral.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral à série, estudando
Para simplificar, escrevemos
Passo 4
Fazemos decomposição em frações parciais:
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes, resulta
Logo
Passo 5
Integramos termo a termo:
Avaliaremos de
a
e depois
:
Em
isso vale
, e em
vale
. Logo
Fazendo
, temos
e
, de modo que
Passo 6
Como a integral imprópria converge e
satisfaz as hipóteses do teste (positiva e decrescente em
), a série
também converge.
Resposta
A série converge pelo teste da integral.