Questão 11: Resolver as seguintes inequações e encontrar o intervalo de soluções:
x-1x-2 <= x+3x+4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x-1x-2 <= x+3x+4,
que é um conteúdo de inequações com expressões fracionárias. Para isso, vamos (i) determinar o domínio, (ii) colocar tudo num único lado para obter uma só fração, (iii) simplificar, (iv) identificar pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador) e (v) usar um quadro de sinais para concluir onde a fração é não positiva.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que os denominadores não sejam zero. Então
x-2 neq 0 e x+4 neq 0
implica
x neq 2 e x neq -4

Passo 3

Passamos tudo para o lado esquerdo:
x-1x-2 - x+3x+4 <= 0

Passo 4

Colocamos em denominador comum:
(x-1)(x+4) - (x+3)(x-2)(x-2)(x+4) <= 0
Calculando o numerador:
(x-1)(x+4) = x^2+3x-4, (x+3)(x-2) = x^2+x-6,
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(x-1)(x+4)-(x+3)(x-2) = (x^2+3x-4) - (x^2+x-6) = 2x+2 = 2(x+1)

Passo 5

A inequação vira
2(x+1)(x-2)(x+4) <= 0
Como 2>0, isso equivale a
x+1(x-2)(x+4) <= 0

Passo 6

Identificamos os pontos críticos que zeram o numerador ou anulam o denominador:
Numerador zero em x=-1, Denominador zero em x=2 e x=-4
Fazemos o quadro de sinais em cada intervalo determinado por -infty,-4,-1,2,infty.

Passo 7

Analisando o sinal de f(x)=x+1(x-2)(x+4) em cada intervalo:
  • Em (-infty,-4): numerador -, denominador (-cdot -)=+ Rightarrow f(x)<0.
  • Em (-4,-1): numerador -, denominador (-cdot +)=- Rightarrow f(x)>0.
  • Em (-1,2): numerador +, denominador (-cdot +)=- Rightarrow f(x)<0.
  • Em (2,infty): numerador +, denominador (+cdot +)=+ Rightarrow f(x)>0.
    Em x=-1 temos f(-1)=0, então atende ao “ <=0”. Nos pontos x=2 e x=-4 a função não está definida.

Resposta

A solução da inequação é
(-infty,-4),cup,[ -1,2)

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