Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^prime prime-2 y^prime+5 y=1+t, y(0)=0, y^prime(0)=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial usando transformada de Laplace:
y'' - 2,y' + 5,y = 1 + t, y(0)=0,;y'(0)=4
O conteúdo principal é transformada de Laplace de derivadas e frações parciais para encontrar Y(s) e, em seguida, aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados, lembrando que
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
Ly'=s,Y(s)-y(0),
L1+t=1s+1s^2
Como y(0)=0 e y'(0)=4, obtemos
s^2Y(s)-4 ;-;2l(sY(s)r);+;5Y(s) ;=;1s+1s^2
Reagrupando,
Y(s),(s^2-2s+5);-;4 ;=;1s+1s^2,
Y(s),(s^2-2s+5);=;4+1s+1s^2 ;=;4s^2+s+1s^2,
Y(s)=4s^2+s+1s^2,(s^2-2s+5)

Passo 3

Fazemos frações parciais na forma
4s^2+s+1s^2,(s^2-2s+5) =As+Bs^2+Cs+Ds^2-2s+5
Multiplicando tudo por s^2(s^2-2s+5), obtemos
4s^2+s+1 = A,s,(s^2-2s+5) + B,(s^2-2s+5) + (Cs+D),s^2
Igualando coeficientes de s^3,s^2,s^1,s^0 surge o sistema
A + C = 0, -2A + B + D = 4, 5A -2B = 1, 5B = 1,
cuja solução é
A=725, B=15, C=-725, D=10925
Logo
Y(s) =7/25s+1/5s^2 +-tfrac725s+tfrac10925s^2-2s+5

Passo 4

Escrevemos s^2-2s+5=(s-1)^2+2^2 e separamos
-tfrac725s+tfrac10925 =-tfrac725(s-1)+l(tfrac10925-(-tfrac725)r) =-tfrac725(s-1)+tfrac10225
Portanto
Y(s) =725,1s +15,1s^2 -725,s-1(s-1)^2+2^2 +102/25(s-1)^2+2^2
Aplicando a transformada inversa:
L^-1tfrac1s=1, L^-1tfrac1s^2=t,
L^-1tfracs-1(s-1)^2+2^2=e^tcos(2t), L^-1tfrac1(s-1)^2+2^2=tfrac12e^tsin(2t)
Logo
y(t) =725 +15,t -725,e^tcos(2t) +10225,12,e^tsin(2t)
Simplificando o último termo: tfrac10225cdottfrac12=tfrac5125.

Resposta

boxed y(t) =725 +15,t -725,e^tcos(2t) +5125,e^tsin(2t)

Exercícios relacionados