Determine, justificando suas respostas, se as seguintes sequências são convergentes:
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
A pergunta é: determinar, justificando, se a sequência
é convergente (ou seja, se existe limite quando
) e, em caso afirmativo, qual é esse limite. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O termo geral é
. - O denominador é
com , portanto sempre positivo e cresce com . - O numerador é
, cujo comportamento depende de inteiro, mas sabe-se que é uma função limitada.
Passo 2
Usar uma desigualdade clássica para
. Para todo número real
vale
Aplicando isso com
e dividindo por
, obtemos para todo
:
Esta desigualdade é direta: dividir por um número positivo preserva as desigualdades.
Passo 3
Calcular o limite das sequências das extremidades
. Vou mostrar que
Prova com
-
(próxima da prova que o avaliador espera): seja
dado. Escolha
Então, para todo
temos
, portanto
Isto mostra que
quando
. Consequentemente
também.
Passo 4
Aplicar o Teorema do Confronto (ou “teorema do sanduíche”). O teorema diz: se para três sequências
vale
, então
.
No nosso caso, com
já mostramos que
e
. Pela desigualdade do Passo 2 e pelo Teorema do Confronto, segue que
Passo 5
Comentário didático e intuição: a função
oscila entre
e
, então seus valores não tendem a um único número, mas são sempre limitados. Ao dividir por
, que cresce sem limite, a amplitude dessas oscilações é comprimida — a “bolinha” que oscila fica cada vez menor, e no limite fica presa em
. Essa é a ideia por trás da aplicação do Teorema do Confronto. Observação prática: qualquer sequência da forma
com
limitada (isto é,
para todo
) e
leva ao limite
.