Determine, justificando suas respostas, se as seguintes sequências são convergentes:
t_{n}=\left\{\frac{\sin (n)}{\sqrt{n}}\right\}_{n=1}^{\infty}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
t_{n}=\left\{\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}}\right\}_{n=1}^{\infty}.
A pergunta é: determinar, justificando, se a sequência \,t_n é convergente (ou seja, se existe limite quando n\to\infty) e, em caso afirmativo, qual é esse limite. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O termo geral é \dfrac{\sin(n)}{\sqrt{n}}.
  • O denominador é \sqrt{n} com n\in\mathbb{N}, portanto sempre positivo e cresce com n.
  • O numerador é \sin(n), cujo comportamento depende de n inteiro, mas sabe-se que \sin é uma função limitada.

Passo 2

Usar uma desigualdade clássica para \sin. Para todo número real x vale
-1 \le \sin(x) \le 1.
Aplicando isso com x=n e dividindo por \sqrt{n}>0, obtemos para todo n\ge 1:
-\frac{1}{\sqrt{n}} \le \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{\sqrt{n}}.
Esta desigualdade é direta: dividir por um número positivo preserva as desigualdades.

Passo 3

Calcular o limite das sequências das extremidades \pm\dfrac{1}{\sqrt{n}}. Vou mostrar que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0.
Prova com \varepsilon- N (próxima da prova que o avaliador espera): seja \varepsilon>0 dado. Escolha
N>\frac{1}{\varepsilon^{2}}.
Então, para todo n\ge N temos \sqrt{n}\ge \sqrt{N}>\dfrac{1}{\varepsilon}, portanto
0\le \frac{1}{\sqrt{n}}\le \frac{1}{\sqrt{N}}<\varepsilon.
Isto mostra que \dfrac{1}{\sqrt{n}}\to 0 quando n\to\infty. Consequentemente
\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=0
também.

Passo 4

Aplicar o Teorema do Confronto (ou “teorema do sanduíche”). O teorema diz: se para três sequências a_n\le b_n\le c_n vale \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L, então \lim_{n\to\infty}b_n=L.
No nosso caso, com
a_n=-\frac{1}{\sqrt{n}},\qquad b_n=\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}},\qquad c_n=\frac{1}{\sqrt{n}},
já mostramos que a_n\to 0 e c_n\to 0. Pela desigualdade do Passo 2 e pelo Teorema do Confronto, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}}=0.

Passo 5

Comentário didático e intuição: a função \sin(n) oscila entre -1 e 1, então seus valores não tendem a um único número, mas são sempre limitados. Ao dividir por \sqrt{n}, que cresce sem limite, a amplitude dessas oscilações é comprimida — a “bolinha” que oscila fica cada vez menor, e no limite fica presa em 0. Essa é a ideia por trás da aplicação do Teorema do Confronto. Observação prática: qualquer sequência da forma \dfrac{a_n}{b_n} com a_n limitada (isto é, |a_n|\le M para todo n) e b_n\to\infty leva ao limite 0.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} t_n = 0

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