Determine, justificando suas respostas, se as seguintes sequências são convergentes: v_{n}=\frac{3 n+5(-1)^{n}}{2 n+1}, \quad \forall n \in \mathbb{N}.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado.
Pede-se determinar se a sequência v_{n} é convergente e justificar a resposta.
Pergunta implícita: existe \lim_{n\to\infty}v_{n}? Se sim, qual é esse limite?
Passo 2
Ideia inicial (sem rigor ainda): separar a parte dominante em n da parte oscilante.
Escrevemos v_{n} como soma de duas parcelas: a parcela racional dominante em n e a parcela com o termo alternado:
v_{n}=\frac{3n}{2n+1}+\frac{5(-1)^{n}}{2n+1}.
Intuição: \frac{3n}{2n+1} tende para \tfrac{3}{2} quando n\to\infty, e \frac{5(-1)^{n}}{2n+1} deve ir a 0 porque o numerador é limitado e o denominador cresce. Portanto a soma deve tender para \tfrac{3}{2}. Agora vamos justificar cada parte formalmente.
Passo 3
Limite da parte dominante \dfrac{3n}{2n+1}.
Para sequências racionais em que o grau do numerador e do denominador é o mesmo, dividimos numerador e denominador por n:
\frac{3n}{2n+1}=\frac{3}{2+\frac{1}{n}}.
Como \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, pela continuidade da função razão obtemos
Explicando a ideia: quando n é grande, o termo +1 no denominador é insignificante em comparação com 2n, então a fração aproxima-se de \tfrac{3n}{2n}=\tfrac{3}{2}.
Passo 4
Limite da parcela oscilante \dfrac{5(-1)^{n}}{2n+1}.
Primeiro note que \left|5(-1)^{n}\right|=5 para todo n. Então
garantimos que para todo n\ge N vale |v_{n}-\tfrac{3}{2}|<\varepsilon. Isso prova formalmente que \lim_{n\to\infty}v_{n}=\tfrac{3}{2}.
Passo 7
Resumo final e incentivo.
Portanto a sequência converge e seu limite é \tfrac{3}{2}. Boa — você conseguiu ver a estrutura: separar a parte dominante e a pequena oscilação, mostrar que a oscilação some e aplicar regras de limites. Se quiser, posso fazer exercícios parecidos para treinar (por exemplo trocar os coeficientes ou o termo alternado) para fixar a técnica.
Resposta
A sequência v_{n} é convergente e \displaystyle \lim_{n\to\infty}v_{n}=\frac{3}{2}.