Determine, justificando suas respostas, se as seguintes sequências são convergentes:
v_{n}=\frac{3 n+5(-1)^{n}}{2 n+1}, \quad \forall n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Pede-se determinar se a sequência v_{n} é convergente e justificar a resposta.
  • A sequência dada é
v_{n}=\frac{3 n+5(-1)^{n}}{2 n+1},\qquad \forall n\in\mathbb{N}.
  • Pergunta implícita: existe \lim_{n\to\infty}v_{n}? Se sim, qual é esse limite?

Passo 2

Ideia inicial (sem rigor ainda): separar a parte dominante em n da parte oscilante.
Escrevemos v_{n} como soma de duas parcelas: a parcela racional dominante em n e a parcela com o termo alternado:
v_{n}=\frac{3n}{2n+1}+\frac{5(-1)^{n}}{2n+1}.
Intuição: \frac{3n}{2n+1} tende para \tfrac{3}{2} quando n\to\infty, e \frac{5(-1)^{n}}{2n+1} deve ir a 0 porque o numerador é limitado e o denominador cresce. Portanto a soma deve tender para \tfrac{3}{2}. Agora vamos justificar cada parte formalmente.

Passo 3

Limite da parte dominante \dfrac{3n}{2n+1}.
Para sequências racionais em que o grau do numerador e do denominador é o mesmo, dividimos numerador e denominador por n:
\frac{3n}{2n+1}=\frac{3}{2+\frac{1}{n}}.
Como \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, pela continuidade da função razão obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{3n}{2n+1}=\frac{3}{2+0}=\frac{3}{2}.
Explicando a ideia: quando n é grande, o termo +1 no denominador é insignificante em comparação com 2n, então a fração aproxima-se de \tfrac{3n}{2n}=\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Limite da parcela oscilante \dfrac{5(-1)^{n}}{2n+1}.
Primeiro note que \left|5(-1)^{n}\right|=5 para todo n. Então
\left|\frac{5(-1)^{n}}{2n+1}\right|=\frac{5}{2n+1}.
Como 2n+1\to\infty, temos \dfrac{5}{2n+1}\to 0. Pelo teorema do confronto (squeeze), já que
0\le \left|\frac{5(-1)^{n}}{2n+1}\right|\le \frac{5}{2n+1}\quad\text{e}\quad\frac{5}{2n+1}\to 0,
conclui-se
\lim_{n\to\infty}\frac{5(-1)^{n}}{2n+1}=0.

Passo 5

Combinar os limites usando propriedades de limites de sequência.
Se \lim a_{n}=A e \lim b_{n}=B então \lim(a_{n}+b_{n})=A+B. Aplicando isso às duas parcelas:
\lim_{n\to\infty}v_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3n}{2n+1}+\lim_{n\to\infty}\frac{5(-1)^{n}}{2n+1}=\frac{3}{2}+0=\frac{3}{2}.
Portanto a sequência é convergente e seu limite é \tfrac{3}{2}.

Passo 6

Prova \varepsilon- N (rigor adicional) para fixar a convergência.
Queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe N tal que para todo n\ge N vale |v_{n}-\tfrac{3}{2}|<\varepsilon.
Primeiro calculamos a diferença:
v_{n}-\frac{3}{2}=\frac{3n+5(-1)^{n}}{2n+1}-\frac{3}{2} =\frac{2(3n+5(-1)^{n})-3(2n+1)}{2(2n+1)} =\frac{10(-1)^{n}-3}{4n+2}.
Tomando valor absoluto,
\left|v_{n}-\frac{3}{2}\right|=\frac{\left|10(-1)^{n}-3\right|}{4n+2}\le\frac{10+3}{4n+2}=\frac{13}{4n+2}.
Portanto, basta escolher N tal que \dfrac{13}{4N+2}<\varepsilon. Isso é equivalente a
4N+2>\frac{13}{\varepsilon}\quad\Longrightarrow\quad N>\frac{13}{4\varepsilon}-\frac{1}{2}.
Tomando por exemplo
N=\left\lceil\frac{13}{4\varepsilon}-\frac{1}{2}\right\rceil,
garantimos que para todo n\ge N vale |v_{n}-\tfrac{3}{2}|<\varepsilon. Isso prova formalmente que \lim_{n\to\infty}v_{n}=\tfrac{3}{2}.

Passo 7

Resumo final e incentivo.
Portanto a sequência converge e seu limite é \tfrac{3}{2}. Boa — você conseguiu ver a estrutura: separar a parte dominante e a pequena oscilação, mostrar que a oscilação some e aplicar regras de limites. Se quiser, posso fazer exercícios parecidos para treinar (por exemplo trocar os coeficientes ou o termo alternado) para fixar a técnica.

Resposta

A sequência v_{n} é convergente e \displaystyle \lim_{n\to\infty}v_{n}=\frac{3}{2}.

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