Determine, justificando suas respostas, se as seguintes sequências são convergentes: w_{n}=(-1)^{n}\left(\frac{n+1}{n}\right), \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}..
Passo 1
O enunciado dá a sequência \,w_{n}=(-1)^{n}\left(\frac{n+1}{n}\right),\; n\in\mathbb{N}^{*}\, e pede para determinar, com justificativa, se essa sequência é convergente ou divergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A fórmula geral é \,w_{n}=(-1)^{n}\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
A pergunta é: a sequência \,(w_{n}) converge? Se sim, para qual limite? Se não, justificar por que não converge.
Passo 2
Definição de convergência (que vou usar e explicar devagarinho): uma sequência \,(x_{n}) converge para um número real \,L se, para todo \varepsilon>0, existe um índice \,N tal que para todo n\ge N vale |x_{n}-L|<\varepsilon.
Aqui:
\varepsilon é qualquer tolerância positiva que eu escolher (por exemplo \,0,1 ou \,10^{-3});
encontrar \,N significa que a partir desse índice todos os termos ficam dentro do intervalo (L-\varepsilon,L+\varepsilon).
Uma propriedade importante (que usarei): se uma sequência converge para \,L, então qualquer subsequência também converge para o mesmo \,L. Essa propriedade é lógica: subsequência pega termos da sequência original, então se todos os termos a partir de certo ponto estão próximos de \,L, os da subsequência também estarão.
Passo 3
Observação útil sobre \,w_{n}: dá para separar os índices pares e ímpares (ou seja, olhar duas subsequências), que costumam revelar oscilações por causa de (-1)^{n}. Vou definir:
subsequência dos índices pares: \,w_{2k} com k\in\mathbb{N}^{*};
subsequência dos índices ímpares: \,w_{2k-1} com k\in\mathbb{N}^{*}.
Se essas duas subsequências tiverem limites distintos, então a sequência original não converge (pela propriedade do passo anterior).
Passo 4
Calcular a subsequência para índices pares. Para n=2k vale
Agora mostro que \,1+\dfrac{1}{2k}\to 1 quando k\to\infty. Demonstração por definição (epsilon-N), bem direta: dado \varepsilon>0, se escolhermos K>\dfrac{1}{2\varepsilon} então, para todo k\ge K,
Mostro que -\left(1+\dfrac{1}{2k-1}\right)\to -1 quando k\to\infty. Novamente por epsilon-N: dado \varepsilon>0, se escolhermos K>\dfrac{1}{\varepsilon} então, para todo k\ge K,
Conclusão pela comparação de subsequências: a subsequência dos termos com índices pares converge para \,1 e a subsequência dos termos com índices ímpares converge para -1. Como esses dois limites são diferentes, a sequência \,(w_{n}) não pode ter um único limite. Pelo fato mencionado no Passo 2 (toda subsequência de sequência convergente tem o mesmo limite), concluímos que \,(w_{n}) não converge.
(Dica alternativa curta para prova por contradição: suponha que exista L tal que w_{n}\to L. Escolha \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Para n par grande teríamos |w_{n}-L|<\tfrac{1}{2} e para n ímpar grande também |w_{n}-L|<\tfrac{1}{2}; somando essas desigualdades obtém-se que termos par e ímpar estariam a menos de 1 entre si, mas na verdade |w_{2k}-w_{2k-1}|=2+ algo pequeno, que tende a 2, levando a contradição. Isso confirma a não convergência.)
Resposta
A sequência w_{n}=(-1)^{n}\left(\dfrac{n+1}{n}\right) não é convergente.