Verifique se a sequência converge. Caso convirja, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
para todo
(isto é,
). Pergunta-se se a sequência converge e, em caso positivo, qual é o seu limite.
Informações relevantes que temos:
- A expressão geral da sequência é
. - Queremos determinar
, ou mostrar que esse limite não existe.
Passo 2
Uma observação prática: todos os termos
são positivos, pois
e
. Isso permite aplicar logaritmo sem problemas. Tomar logaritmo é uma técnica comum: se definirmos
então a relação entre os limites é simples e útil: se
então
, porque a função exponencial é contínua.
Vamos então estudar
. Calculando,
Passo 3
Agora vou mostrar que
, isto é,
Uma maneira direta e muito usada para limites do tipo
é usar a regra de L’Hôpital aplicada à função contínua
quando
.
Considere a função
para
. À medida que
temos
e
, então o quociente é uma forma
onde L’Hôpital pode ser aplicado (funções diferenciáveis, etc.). Aplicando L’Hôpital:
Portanto
. Como
é apenas a amostragem dessa função nos inteiros, segue que
(Se preferir uma justificativa sem L’Hôpital: para qualquer
existe
tal que para
vale
— por exemplo usando crescimento linear de
dominando
; isso dá diretamente
.)
Passo 4
Tendo mostrado que
, voltamos à sequência original usando a exponencial. Como
e a função
é contínua,
Logo a sequência converge e o limite é
.
Passo 5
Complemento intuitivo (útil para a prova oral): a sequência
cresce até um máximo pequeno e depois decresce para
. Se considerarmos a função contínua
, sua derivada é
portanto para
tem-se
e
, ou seja,
é decrescente para
. Assim, a sequência de inteiros
é decrescente a partir de
e é limitada inferiormente por
, o que também garante convergência. O único possível limite compatível com a análise do logaritmo é
.