Verifique se a sequência converge. Caso convirja, encontre o limite.
d_{n}=\sqrt[n]{n} . \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência d_{n}=\sqrt[n]{n} para todo n\in\mathbb{N}^{*} (isto é, d_n=n^{1/n}). Pergunta-se se a sequência converge e, em caso positivo, qual é o seu limite.
Informações relevantes que temos:
  • A expressão geral da sequência é d_n = n^{1/n}.
  • Queremos determinar \displaystyle\lim_{n\to\infty} d_n, ou mostrar que esse limite não existe.

Passo 2

Uma observação prática: todos os termos d_n são positivos, pois n>0 e n^{1/n}>0. Isso permite aplicar logaritmo sem problemas. Tomar logaritmo é uma técnica comum: se definirmos
a_n=\ln(d_n),
então a relação entre os limites é simples e útil: se a_n\to L então d_n=\exp(a_n)\to \exp(L), porque a função exponencial é contínua.
Vamos então estudar a_n. Calculando,
a_n=\ln\bigl(n^{1/n}\bigr)=\frac{\ln n}{n}.

Passo 3

Agora vou mostrar que \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=0, isto é,
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0.
Uma maneira direta e muito usada para limites do tipo \dfrac{\text{“uma função que cresce devagar”}}{\text{uma função que cresce rápido}}çãçãá é usar a regra de L’Hôpital aplicada à função contínua \dfrac{\ln x}{x} quando x\to\infty.
Considere a função f(x)=\dfrac{\ln x}{x} para x>0. À medida que x\to\infty temos \ln x\to\infty e x\to\infty, então o quociente é uma forma \dfrac{\infty}{\infty} onde L’Hôpital pode ser aplicado (funções diferenciáveis, etc.). Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)'}{(x)'} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Portanto \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0. Como a_n=\dfrac{\ln n}{n} é apenas a amostragem dessa função nos inteiros, segue que
\lim_{n\to\infty} a_n=0.
(Se preferir uma justificativa sem L’Hôpital: para qualquer \varepsilon>0 existe N tal que para n\ge N vale \ln n<n\varepsilon — por exemplo usando crescimento linear de n dominando \ln n; isso dá diretamente \ln n / n < \varepsilon.)

Passo 4

Tendo mostrado que a_n=\dfrac{\ln n}{n}\to 0, voltamos à sequência original usando a exponencial. Como d_n=\exp(a_n) e a função \exp é contínua,
\lim_{n\to\infty} d_n=\lim_{n\to\infty} e^{a_n}=e^{\lim_{n\to\infty} a_n}=e^{0}=1.
Logo a sequência converge e o limite é 1.

Passo 5

Complemento intuitivo (útil para a prova oral): a sequência n^{1/n} cresce até um máximo pequeno e depois decresce para 1. Se considerarmos a função contínua f(x)=x^{1/x}=e^{\ln x / x}, sua derivada é
f'(x)=f(x)\cdot\frac{1-\ln x}{x^2},
portanto para x>e tem-se 1-\ln x<0 e f'(x)<0, ou seja, f é decrescente para x>e. Assim, a sequência de inteiros d_n é decrescente a partir de n\ge 3 e é limitada inferiormente por 1, o que também garante convergência. O único possível limite compatível com a análise do logaritmo é 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados