Determine, justificando, se é verdadeiro ou falso que, para todo theta in R a matriz A= [cccos theta & -sen theta sen theta & cos theta] é ortogonal.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = costheta & -sentheta sentheta & costheta
é ortogonal para todo theta. Lembrando que uma matriz A é ortogonal se
A^T A = I,
onde I é a matriz identidade de ordem 2.

Passo 2

Vamos calcular a transposta de A:
A^T = costheta & sentheta -sentheta & costheta

Passo 3

Agora computamos o produto A^T A. Suas entradas são
(A^T A)11 = cos^2theta + sen^2theta = 1,
(A^T A)12 = costhetacdot(-sentheta) + senthetacdotcostheta = 0,
(A^T A)21 = (-sentheta)cdotcostheta + costhetacdotsentheta = 0,
(A^T A)22 = (-sentheta)(-sentheta) + cos^2theta = sen^2theta + cos^2theta = 1
Portanto
A^T A = 1 & 00 & 1 = I

Passo 4

Como A^T A = I para todo theta, concluímos que A é ortogonal em qualquer ângulo theta.

Resposta

Verdadeiro.

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