Determine k para que a função dada seja uma função densidade de probabilidade:
f(x)=k x(x-5) para 0 \leq x \leq 5 f(x)=0 para x<0 ou x>5.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de k de modo que a função definida por
f(x)=k\,x(x-5)\quad\text{para }0\le x\le 5
e
f(x)=0\quad\text{para }x<0\text{ ou }x>5
seja uma função densidade de probabilidade.
Informações dadas:
  • A expressão de f(x) no intervalo [0,5] é k\,x(x-5).
  • Fora de [0,5], f(x)=0.
  • A única incógnita a encontrar é k.

Passo 2

O que significa ser uma função densidade de probabilidade? Duas condições precisam valer:
  1. Não-negatividade: \,f(x)\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}.
    • Aqui isso significa que, para 0\le x\le 5, devemos ter k\,x(x-5)\ge 0.
  2. Normalização (integral total igual a 1):
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
  • Como f(x)=0 fora de [0,5], a integral sobre toda a reta reduz-se à integral em [0,5]:
\int_{0}^{5} k\,x(x-5)\,dx = 1.
Vou usar essas duas condições: primeiro imponho a normalização para encontrar k e depois verifico a não-negatividade com o valor encontrado.

Passo 3

Escrevo a condição de normalização e calculo a integral passo a passo. Primeiro simplifico o integrando:
x(x-5)=x^2-5x.
Então
\int_{0}^{5} k\,x(x-5)\,dx = k\int_{0}^{5} (x^2-5x)\,dx = 1.
Calculo a primitiva de x^2-5x:
\int (x^2-5x)\,dx = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2}.
Agora avalio a primitiva entre 0 e 5:
\left[\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2}\right]_{0}^{5} = \left(\frac{5^3}{3} - \frac{5\cdot 5^2}{2}\right) - 0.
Calculo os termos numéricos:
\frac{5^3}{3} = \frac{125}{3},\qquad \frac{5\cdot 5^2}{2}=\frac{125}{2}.
Subtraindo:
\frac{125}{3}-\frac{125}{2} = 125\!\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)=125\cdot\left(\frac{2-3}{6}\right)=125\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)=-\frac{125}{6}.
Portanto a integral vale
k\cdot\left(-\frac{125}{6}\right)=1.

Passo 4

Resolvo a equação para k:
-\frac{125}{6}\,k = 1 \quad\Rightarrow\quad k = -\frac{6}{125}.

Passo 5

Verifico a condição de não-negatividade com k=-\dfrac{6}{125}. Para 0\le x\le 5 temos x\ge 0 e x-5\le 0, logo x(x-5)\le 0. Como k é negativo, o produto k\,x(x-5)\ge 0. Nos pontos extremos x=0 e x=5 obtemos f(0)=0 e f(5)=0. Assim a função com k=-\dfrac{6}{125} satisfaz tanto a normalização quanto a não-negatividade, logo é de fato uma densidade.

Resposta

k=-\dfrac{6}{125}

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