Determine
para que a função dada seja uma função densidade de probabilidade:
para
para
ou
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor de
de modo que a função definida por
e
seja uma função densidade de probabilidade.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão de
no intervalo é . - Fora de
, . - A única incógnita a encontrar é
.
Passo 2
O que significa ser uma função densidade de probabilidade? Duas condições precisam valer:
-
Não-negatividade:
para todo . - Aqui isso significa que, para
, devemos ter .
- Aqui isso significa que, para
-
Normalização (integral total igual a 1):
- Como
fora de , a integral sobre toda a reta reduz-se à integral em :
Vou usar essas duas condições: primeiro imponho a normalização para encontrar
e depois verifico a não-negatividade com o valor encontrado.
Passo 3
Escrevo a condição de normalização e calculo a integral passo a passo. Primeiro simplifico o integrando:
Então
Calculo a primitiva de
:
Agora avalio a primitiva entre
e
:
Calculo os termos numéricos:
Subtraindo:
Portanto a integral vale
Passo 4
Resolvo a equação para
:
Passo 5
Verifico a condição de não-negatividade com
. Para
temos
e
, logo
. Como
é negativo, o produto
. Nos pontos extremos
e
obtemos
e
. Assim a função com
satisfaz tanto a normalização quanto a não-negatividade, logo é de fato uma densidade.