Suponha que o tempo de duração de um determinado tipo de bateria seja uma variável aleatória X contínua com função de densidade de probabilidade dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{1}{3} e^{-\frac{x}{3}}, & \text { se } \quad x \geq 0 \\\\ 0, & \text { se } \quad x<0 \end{array}\right.
sendo o tempo medido em anos.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de densidade de probabilidade (pdf) de uma variável aleatória contínua X\) (tempo de duração da bateria, em anos):
\[f(x)=\begin{cases} \frac{1}{3}e^{-x/3}, & x\ge 0,\\[4pt] 0, & x<0. \end{cases}
Não há uma pergunta explícita no enunciado. Como isso é uma distribuição exponencial muito comum em provas, vou calcular passo a passo os itens que normalmente pedem e que te ajudam a entender e usar essa distribuição na prova:
a função de distribuição acumulada (CDF) F(x)\];
- a função de sobrevivência \(S(x)=P(X>x) e exemplo numérico P(X>5);
- esperança E[X] (média) e variância \operatorname{Var}(X), com demonstração detalhada;
- mediana e um percentil (por exemplo, o 90.º percentil);
- demonstração da propriedade de falta de memória (memoryless) e como usar para calcular probabilidade condicional;
- um exemplo de probabilidade em intervalo, por exemplo P(5<X\le 8).]
Passo 2
Primeiro vamos achar a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x). Definição e ideia: para variável contínua com pdf f,
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Como f(t)=0 para t<0, para x<0 temos F(x)=0. Para x\ge 0:
F(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{3}e^{-t/3}\,dt.
Esse integral é elementar. Faça a substituição direta: integral de e^{-t/3} é -3e^{-t/3}, mas tem o fator 1/3, então
O primeiro termo é zero pelo mesmo motivo de decaimento exponencial. Então
E[X^{2}]=2\int_{0}^{\infty} x e^{-x/3}\,dx.
Para calcular \int_{0}^{\infty} x e^{-x/3}\,dx uma forma rápida é a substituição y=x/3 (ou lembrar que é a integral de \Gamma(2) escalada). Fazendo a substituição x=3y, dx=3dy:
\int_{0}^{\infty} x e^{-x/3}\,dx = \int_{0}^{\infty} 3y \, e^{-y}\cdot 3\,dy = 9 \int_{0}^{\infty} y e^{-y}\,dy.
E \int_{0}^{\infty} y e^{-y}\,dy = 1!\,=1. Logo a integral vale 9. Portanto
Também dá para lembrar: para exponencial com parâmetro \lambda, \operatorname{Var}(X)=1/\lambda^{2}. Como \lambda=\tfrac{1}{3}, \operatorname{Var}(X)=9.
Passo 6
Mediana m: pela definição, mediana é o ponto que satisfaz P(X\le m)=0,5. Usando a CDF:
Intuição prática: a bateria “não envelhece” segundo esse modelo; a chance de viver mais um intervalo depende só do comprimento do intervalo, não do tempo já decorrido.
Passo 9
Exemplo de probabilidade em intervalo: probabilidade da bateria durar mais que 5 anos e, ao mesmo tempo, no máximo 8 anos, ou seja P(5<X\le 8). Usamos a CDF: