Seja f(x)\) uma função densidade de probabilidade dada por: \[f(x)= \begin{cases}k x^{2}, & \text { se } \quad 0 \leq x \leq \frac{2}{3} \\\ \frac{3}{5}, & \text { se } \quad \frac{2}{3} \leq x \leq 2 \\\\ 0, & \text { para outros valores de } x\end{cases}
Encontre o valor de (k].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de k\) sabendo que \(f(x)\) é uma função densidade de probabilidade dada por: \[f(x)= \begin{cases}k x^{2}, & \text { se } \quad 0 \leq x \leq \frac{2}{3} \\\ \frac{3}{5}, & \text { se } \quad \frac{2}{3} \leq x \leq 2 \\\\ 0, & \text { para outros valores de } x\end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • Para 0 \leq x \leq \frac{2}{3}\], temos \(f(x)=k x^{2}.
  • Para \frac{2}{3} \leq x \leq 2, temos f(x)=\frac{3}{5}.
  • Para x fora desses intervalos, f(x)=0.
    A tarefa: determinar k.

Passo 2

Propriedade fundamental que vamos usar: a integral da função densidade sobre toda a reta deve ser 1. Ou seja,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de [0,2], essa integral se reduz à soma das integrais nos dois pedaços onde f é diferente de zero:
\int_{0}^{\frac{2}{3}} k x^{2}\,dx + \int_{\frac{2}{3}}^{2} \frac{3}{5}\,dx = 1.

Passo 3

Calculo da integral do segundo intervalo (essa é mais simples porque é constante):
\int_{\frac{2}{3}}^{2} \frac{3}{5}\,dx = \frac{3}{5}\bigl[x\bigr]_{\frac{2}{3}}^{2} = \frac{3}{5}\left(2-\frac{2}{3}\right).
Agora simplifico 2-\frac{2}{3}=\frac{6-2}{3}=\frac{4}{3}, então
\int_{\frac{2}{3}}^{2} \frac{3}{5}\,dx = \frac{3}{5}\cdot\frac{4}{3} = \frac{4}{5}.

Passo 4

Calculo da integral do primeiro intervalo (usa antiderivada de x^{2}):
\int_{0}^{\frac{2}{3}} k x^{2}\,dx = k\int_{0}^{\frac{2}{3}} x^{2}\,dx = k\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\frac{2}{3}}.
Avalio a antiderivada em \frac{2}{3}: \left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{8}{27}. Dividindo por 3 \frac{8}{81}. Portanto
\int_{0}^{\frac{2}{3}} k x^{2}\,dx = k\cdot\frac{8}{81}.

Passo 5

Substituo os resultados no requisito de normalização:
k\cdot\frac{8}{81} + \frac{4}{5} = 1.
Isolo k:
k\cdot\frac{8}{81} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}.
Logo
k = \frac{1}{5}\cdot\frac{81}{8} = \frac{81}{40}.

Passo 6

Checagem rápida: \frac{81}{40}\cdot\frac{8}{81}=\frac{8}{40}=\frac{1}{5} e \frac{1}{5}+\frac{4}{5}=1. Está consistente.

Resposta

\displaystyle k=\frac{81}{40}

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